kaoyan1basic 高等数学 第61题
📝 题目
## 第61题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(x)$ 为连续函数，$\varphi$ 为常数， $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} f(\sin (x+\varphi)) \mathrm{d} x=A \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d} x$ ，则 $A=$ $\_\_\_\_$。 －纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$2$ **解析**：步骤1：令$u=x+\varphi$，则$dx=du$，当$x=0$时$u=\varphi$，$x=2\pi$时$u=2\pi+\varphi$，积分变为$\int_{\varphi}^{2\pi+\varphi} f(\sin u)du$。 步骤2：由于被积函数周期为$2\pi$，该积分等于$\int_0^{2\pi} f(\sin u)du$。 步骤3：利用对称性，$\int_0^{2\pi} f(\sin u)du = 2\int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(\sin u)du$，故$A=2$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：变量代换，将积分区间标准化
令 $u = x + \varphi$，则 $dx = du$，当 $x=0$ 时 $u=\varphi$，$x=2\pi$ 时 $u=2\pi+\varphi$，原积分化为 $\int_{\varphi}^{2\pi+\varphi} f(\sin u) \, du$。
公式：$\int_{0}^{2\pi} f(\sin(x+\varphi)) \, dx = \int_{\varphi}^{2\pi+\varphi} f(\sin u) \, du$
提示：注意积分限的变化，代换后积分区间长度不变。
步骤 2/4
目标：利用周期性简化积分区间
由于 $f(\sin u)$ 是以 $2\pi$ 为周期的函数，因此 $\int_{\varphi}^{2\pi+\varphi} f(\sin u) \, du = \int_{0}^{2\pi} f(\sin u) \, du$。
公式：$\int_{\varphi}^{2\pi+\varphi} f(\sin u) \, du = \int_{0}^{2\pi} f(\sin u) \, du$
提示：周期函数在任意一个周期长度区间上的积分相等。
步骤 3/4
目标：利用对称性将积分区间转化为 $[-\pi/2, \pi/2]$
考虑 $\int_{0}^{2\pi} f(\sin u) \, du$，由于 $\sin u$ 的对称性，该积分等于 $2 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(\sin u) \, du$。
公式：$\int_{0}^{2\pi} f(\sin u) \, du = 2 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(\sin u) \, du$
提示：利用 $\sin u$ 在 $[0,2\pi]$ 上的对称性，或者将积分拆分为 $[0,\pi]$ 和 $[\pi,2\pi]$ 并分别变换。
步骤 4/4
目标：得出常数 A
比较原式 $\int_{0}^{2\pi} f(\sin(x+\varphi)) \, dx = A \int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(\sin x) \, dx$，得到 $A=2$。
公式：$A=2$
提示：注意积分变量名称不影响结果。
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