kaoyan1basic 高等数学 第62题
📝 题目
## 第62题 (高等数学 - 填空题) $f(x)=$\left\{\begin{array}{cc}x \mathrm{e}^{-x^{2}}, & x \geqslant 0 \\ \frac{1}{1+\cos x}, & -1
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}(1-\mathrm{e}^{-4})+\tan\frac{1}{2}$ **解析**：步骤1：令$u=x-2$，则$dx=du$，当$x=1$时$u=-1$，$x=4$时$u=2$，积分变为$\int_{-1}^2 f(u)du$。 步骤2：分段积分：$\displaystyle \int_{-1}^0 \frac{1}{1+\cos u}du + \int_0^2 u\mathrm{e}^{-u^2}du$。 步骤3：$\displaystyle \int_{-1}^0 \frac{1}{1+\cos u}du = \int_{-1}^0 \frac{1}{2\cos^2(u/2)}du = \tan\frac{u}{2}\big|_{-1}^0 = \tan\frac{1}{2}$。 步骤4：$\displaystyle \int_0^2 u\mathrm{e}^{-u^2}du = -\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-u^2}\big|_0^2 = \frac{1}{2}(1-\mathrm{e}^{-4})$。 步骤5：相加得结果。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：换元简化积分区间
令 u = x - 2，则 dx = du。当 x = 1 时 u = -1，x = 4 时 u = 2，原积分化为 ∫_{-1}^{2} f(u) du。
公式：∫_{1}^{4} f(x-2) dx = ∫_{-1}^{2} f(u) du
提示：注意换元后积分上下限的对应关系。
步骤 2/5
目标：分段积分
根据 f(u) 的分段定义，将积分拆分为 ∫_{-1}^{0} f(u) du + ∫_{0}^{2} f(u) du。其中在 [-1,0) 上 f(u)=1/(1+cos u)，在 [0,2] 上 f(u)=u e^{-u^2}。
公式：∫_{-1}^{2} f(u) du = ∫_{-1}^{0} 1/(1+cos u) du + ∫_{0}^{2} u e^{-u^2} du
提示：注意分段点 u=0 属于第二段，因为定义中 x≥0 时用第一个表达式。
步骤 3/5
目标：计算第一段积分
利用半角公式 1+cos u = 2 cos^2(u/2)，则 ∫ 1/(1+cos u) du = ∫ 1/(2 cos^2(u/2)) du = ∫ (1/2) sec^2(u/2) du = tan(u/2) + C。代入上下限得 tan(0/2) - tan(-1/2) = tan(1/2)。
公式：∫_{-1}^{0} 1/(1+cos u) du = tan(u/2) |_{-1}^{0} = tan(1/2)
提示：注意 tan(0)=0，tan(-a) = -tan a，所以结果为 tan(1/2)。
步骤 4/5
目标：计算第二段积分
令 t = u^2，则 dt = 2u du，u du = dt/2。当 u=0 时 t=0，u=2 时 t=4，积分化为 ∫_{0}^{4} (1/2) e^{-t} dt = -(1/2) e^{-t} |_{0}^{4} = (1/2)(1 - e^{-4})。
公式：∫_{0}^{2} u e^{-u^2} du = (1/2)(1 - e^{-4})
提示：也可直接凑微分：∫ u e^{-u^2} du = -1/2 e^{-u^2} + C。
步骤 5/5
目标：合并结果
将两段积分结果相加：tan(1/2) + (1/2)(1 - e^{-4})。
公式：∫_{1}^{4} f(x-2) dx = tan(1/2) + (1/2)(1 - e^{-4})
提示：最终结果无需化简。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。