kaoyan1basic 高等数学 第63题
📝 题目
## 第63题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(x)$ 是定义于 $x \geqslant 1$ 的正值连续函数，则 $$ F(x)=\int_{1}^{x}\left[\left(\frac{2}{x}+\ln x\right)-\left(\frac{2}{t}+\ln t\right)\right] f(t) \mathrm{d} t(x \geqslant 1) $$ 的极小值点是 $x=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区 □
💡 答案解析
**答案**：$\mathrm{e}$ **解析**：步骤1：令$\displaystyle g(x)=\frac{2}{x}+\ln x$，则$F(x)=\int_1^x [g(x)-g(t)]f(t)dt$。 步骤2：对$x$求导，由含参积分求导公式得$F'(x)=g'(x)\int_1^x f(t)dt$。 步骤3：$\displaystyle g'(x)=-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x}=\frac{x-2}{x^2}$，令$F'(x)=0$得$x=2$。 步骤4：$F''(x)=g''(x)\int_1^x f(t)dt + g'(x)f(x)$，在$x=2$处$g'(2)=0$，$\displaystyle g''(2)=\frac{1}{2}>0$，且$\int_1^2 f(t)dt>0$，故$x=2$为极小值点。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简被积函数形式
令 g(x) = 2/x + ln x，则 F(x) = ∫₁ˣ [g(x) - g(t)] f(t) dt。
公式：g(x) = 2/x + ln x
提示：注意将常数项与变量分离，便于求导。
步骤 2/4
目标：对 F(x) 求导
由含参积分求导公式，F'(x) = g'(x) ∫₁ˣ f(t) dt。
公式：F'(x) = g'(x) ∫₁ˣ f(t) dt
提示：因为 f(t) 与 x 无关，且 g(x) 与 t 无关，所以求导时只需对 g(x) 求导。
步骤 3/4
目标：求驻点
计算 g'(x) = -2/x² + 1/x = (x-2)/x²。令 F'(x)=0，由于 ∫₁ˣ f(t) dt > 0（f 正值连续），得 x=2。
公式：g'(x) = (x-2)/x²
提示：注意 f(t) 正值保证积分非零。
步骤 4/4
目标：判断极值类型
计算 F''(x) = g''(x) ∫₁ˣ f(t) dt + g'(x) f(x)。在 x=2 处，g'(2)=0，g''(2)=1/2 > 0，且 ∫₁² f(t) dt > 0，故 F''(2) > 0，x=2 为极小值点。
公式：g''(x) = 2/x³ - 1/x²
提示：二阶导大于零为极小值。
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