kaoyan1basic 高等数学 第65题
📝 题目
## 第65题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(x)=\max \left\{1, x^{2}\right\}$ ，则 $\int_{1}^{x} f(t) \mathrm{d} t=$ $\_\_\_\_$ ． □
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \begin{cases} x-1, & 1\leq x\leq 1 \\ \frac{x^3}{3}+\frac{2}{3}, & x>1 \end{cases}$ **解析**：步骤1：$f(x)=\max\{1,x^2\}$，当$|x|\leq1$时$f(x)=1$，当$|x|>1$时$f(x)=x^2$。 步骤2：积分下限为1，当$x\geq1$时，若$1\leq x\leq1$（即$x=1$），$\int_1^1 f(t)dt=0$；若$x>1$，则$\displaystyle \int_1^x f(t)dt = \int_1^x t^2 dt = \frac{x^3}{3}-\frac{1}{3}$。 步骤3：当$x<1$时，$\int_1^x f(t)dt = -\int_x^1 f(t)dt$，若$x<-1$，则$\displaystyle \int_x^1 f(t)dt = \int_x^{-1} t^2 dt + \int_{-1}^1 1 dt = \frac{-1}{3}-\frac{x^3}{3}+2 = \frac{5}{3}-\frac{x^3}{3}$，故原积分$\displaystyle =\frac{x^3}{3}-\frac{5}{3}$；若$-1\leq x<1$，则$\int_x^1 1 dt = 1-x$，原积分$=x-1$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定分段函数f(x)的表达式
由于f(x)=max{1,x^2}，比较1和x^2的大小：当|x|≤1时，x^2≤1，所以f(x)=1；当|x|>1时，x^2>1，所以f(x)=x^2。
公式：f(x)=1 for |x|≤1; f(x)=x^2 for |x|>1
提示：注意绝对值范围，分段点x=±1。
步骤 2/5
目标：分析积分下限为1，讨论x的范围
积分下限是1，因此需要分x≥1和x<1两种情况。当x≥1时，积分区间从1到x；当x<1时，积分区间从x到1，但需注意积分方向。
提示：积分下限固定，变量x在上限。
步骤 3/5
目标：计算x≥1时的积分
当x=1时，积分区间长度为0，结果为0。当x>1时，由于x>1，积分区间内t>1，所以f(t)=t^2，积分∫_1^x t^2 dt = (1/3)x^3 - 1/3。
公式：∫_1^x t^2 dt = (x^3-1)/3
提示：注意x=1时单独考虑，但公式也适用。
步骤 4/5
目标：计算x<1时的积分
当x<1时，∫_1^x f(t)dt = -∫_x^1 f(t)dt。再分两种情况：若x<-1，则从x到1的积分需分段：∫_x^{-1} t^2 dt + ∫_{-1}^1 1 dt = (-1/3 - x^3/3) + 2 = (5/3 - x^3/3)，所以原积分 = x^3/3 - 5/3。若-1≤x<1，则∫_x^1 1 dt = 1-x，原积分 = x-1。
公式：∫_x^1 f(t)dt = ∫_x^{-1} t^2 dt + ∫_{-1}^1 1 dt for x<-1; = ∫_x^1 1 dt for -1≤x<1
提示：注意积分限的转换和分段。
步骤 5/5
目标：综合结果，写出分段表达式
综合以上，得到∫_1^x f(t)dt = { x-1, 1≤x≤1? 实际上当x=1时，x-1=0，但x>1时表达式为(x^3-1)/3，x<-1时为x^3/3 - 5/3，-1≤x<1时为x-1。注意题目答案中只给出了x≥1的情况，但完整应包含x<1。
提示：检查分段点x=1和x=-1处的连续性。
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