kaoyan1basic 高等数学 第66题
📝 题目
## 第66题 (高等数学 - 填空题) 在曲线 $y=x^{2}(0 \leqslant x \leqslant 1)$ 上取一点 $\left(t, t^{2}\right)(0
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}$ **解析**：步骤1：$\displaystyle A_1 = \int_0^t (t^2 - x^2)dx = t^3 - \frac{t^3}{3} = \frac{2}{3}t^3$。 步骤2：$\displaystyle A_2 = \int_t^1 (x^2 - t^2)dx = \frac{1}{3} - t^2 + \frac{2}{3}t^3$。 步骤3：$\displaystyle A = A_1+A_2 = \frac{4}{3}t^3 - t^2 + \frac{1}{3}$。 步骤4：求导$A' = 4t^2 - 2t = 2t(2t-1)$，令$A'=0$得$t=0$（舍）或$\displaystyle t=\frac{1}{2}$。 步骤5：$A''=8t-2$，在$\displaystyle t=\frac{1}{2}$处$A''=2>0$，故为极小值点。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算A1的面积
A1由曲线y=x^2、直线y=t^2和x=0围成，x从0到t，被积函数为t^2 - x^2。
公式：A1 = ∫_0^t (t^2 - x^2) dx = [t^2 x - x^3/3]_0^t = t^3 - t^3/3 = 2/3 t^3
提示：注意积分上下限，被积函数是上减下。
步骤 2/5
目标：计算A2的面积
A2由曲线y=x^2、直线y=t^2和x=1围成，x从t到1，被积函数为x^2 - t^2。
公式：A2 = ∫_t^1 (x^2 - t^2) dx = [x^3/3 - t^2 x]_t^1 = (1/3 - t^2) - (t^3/3 - t^3) = 1/3 - t^2 + 2/3 t^3
提示：注意积分上下限，被积函数是上减下。
步骤 3/5
目标：求A的表达式
A = A1 + A2 = 2/3 t^3 + 1/3 - t^2 + 2/3 t^3 = 4/3 t^3 - t^2 + 1/3
公式：A = 4/3 t^3 - t^2 + 1/3
提示：合并同类项。
步骤 4/5
目标：求导数并找到驻点
对A关于t求导：A' = 4t^2 - 2t = 2t(2t-1)。令A'=0得t=0或t=1/2。由于0
公式：A' = 4t^2 - 2t
提示：注意定义域0
步骤 5/5
目标：判断极值类型
求二阶导数：A'' = 8t - 2。在t=1/2处，A''=2>0，故为极小值点。
公式：A'' = 8t - 2
提示：二阶导数大于0为极小值。
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