kaoyan1basic 高等数学 第67题
📝 题目
## 第67题 (高等数学 - 填空题) $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{2 x^{2}-1}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ **解析**：步骤1：令$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}}\sec\theta$，则$\displaystyle dx=\frac{1}{\sqrt{2}}\sec\theta\tan\theta d\theta$，当$x=1$时$\theta=0$，$x\to+\infty$时$\displaystyle \theta\to\frac{\pi}{2}$。 步骤2：$\sqrt{2x^2-1}=\tan\theta$，则积分变为$\displaystyle \int_0^{\pi/2} \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}\sec\theta \cdot \tan\theta} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\sec\theta\tan\theta d\theta = \int_0^{\pi/2} d\theta = \frac{\pi}{2}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简被积函数，进行变量代换
令 $x = \frac{1}{\sqrt{2}} \sec \theta$，则 $dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \sec \theta \tan \theta d\theta$。当 $x=1$ 时，$\theta=0$；当 $x \to +\infty$ 时，$\theta \to \frac{\pi}{2}$。
公式：$x = \frac{1}{\sqrt{2}} \sec \theta$
提示：选择三角代换时，注意根号形式 $\sqrt{2x^2-1}$ 对应 $\sec$ 代换。
步骤 2/4
目标：简化根号表达式
计算 $\sqrt{2x^2-1} = \sqrt{2 \cdot \frac{1}{2} \sec^2 \theta - 1} = \sqrt{\sec^2 \theta - 1} = \tan \theta$。
公式：$\sqrt{2x^2-1} = \tan \theta$
提示：利用三角恒等式 $\sec^2 \theta - 1 = \tan^2 \theta$。
步骤 3/4
目标：代入积分并化简
原积分化为 $\int_0^{\pi/2} \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}} \sec \theta \cdot \tan \theta} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \sec \theta \tan \theta d\theta = \int_0^{\pi/2} d\theta$。
公式：$\int_0^{\pi/2} d\theta$
提示：注意 $\sec \theta$ 和 $\tan \theta$ 项抵消。
步骤 4/4
目标：计算定积分
$\int_0^{\pi/2} d\theta = \frac{\pi}{2}$。
公式：$\int_0^{\pi/2} d\theta = \frac{\pi}{2}$
提示：直接积分得到结果。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。