kaoyan1basic 高等数学 第68题
📝 题目
## 第68题 (高等数学 - 填空题) I=$\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left[\frac{2 x^{2}+b x+a}{x(2 x+a)}-1\right] \mathrm{d} x=1$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$a=2, b=2$ **解析**：步骤1：化简被积函数：$\displaystyle \frac{2x^2+bx+a}{x(2x+a)}-1 = \frac{2x^2+bx+a - x(2x+a)}{x(2x+a)} = \frac{(b-a)x+a}{x(2x+a)}$。 步骤2：积分$\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{(b-a)x+a}{x(2x+a)}dx$收敛，需分子次数低于分母，故$b-a=0$即$b=a$。 步骤3：此时被积函数为$\displaystyle \frac{a}{x(2x+a)}$，积分$\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{a}{x(2x+a)}dx = \int_1^{+\infty} \left(\frac{1}{x} - \frac{2}{2x+a}\right)dx = \left[\ln\frac{x}{2x+a}\right]_1^{+\infty} = \ln\frac{1}{2} - \ln\frac{1}{2+a} = \ln\frac{2+a}{2}$。 步骤4：令$\displaystyle \ln\frac{2+a}{2}=1$，得$\displaystyle \frac{2+a}{2}=e$，$a=2e-2$，故$a=2e-2, b=2e-2$。 **难度**：★★★☆☆