kaoyan1basic 高等数学 第69题
📝 题目
## 第69题 (高等数学 - 填空题) $$ $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x \mathrm{e}^{-x}}{\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}} \mathrm{~d} x=$ $$ $\_\_\_\_$ ． □
💡 答案解析
**答案**：$\ln 2$ **解析**：步骤1：令$u=\mathrm{e}^{-x}$，则$du=-\mathrm{e}^{-x}dx$，当$x=0$时$u=1$，$x\to+\infty$时$u\to0$，积分变为$\displaystyle \int_1^0 \frac{-\ln u}{(1+u)^2}du = \int_0^1 \frac{-\ln u}{(1+u)^2}du$。 步骤2：分部积分，令$v=-\ln u$，$\displaystyle dw=\frac{du}{(1+u)^2}$，则$\displaystyle dv=-\frac{1}{u}du$，$\displaystyle w=-\frac{1}{1+u}$，原积分$\displaystyle =\left[\frac{\ln u}{1+u}\right]_0^1 + \int_0^1 \frac{1}{u(1+u)}du$。 步骤3：第一项为0，第二项$\displaystyle \int_0^1 \left(\frac{1}{u} - \frac{1}{1+u}\right)du = \left[\ln\frac{u}{1+u}\right]_0^1 = \ln\frac{1}{2} - \lim_{u\to0^+}\ln\frac{u}{1+u} = -\ln 2$。 **难度**：★★★☆☆