kaoyan1basic 高等数学 第70题
📝 题目
## 第70题 (高等数学 - 填空题) 摆线 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)$ 与 $x$ 轴围成图形绕 $y=2 a$ 旋转一周而得旋转体的体积 $V=$ $\_\_\_\_$ ． □
💡 答案解析
**答案**：$7\pi^2 a^3$ **解析**：步骤1：摆线一拱与x轴围成图形，绕$y=2a$旋转，用圆盘法，体积元素$dV = \pi[(2a)^2 - (2a-y)^2]dx = \pi(4a^2 - (2a-y)^2)dx$。 步骤2：$y=a(1-\cos t)$，$dx=a(1-\cos t)dt$，$t$从$0$到$2\pi$。 步骤3：$V = \pi\int_0^{2\pi} [4a^2 - (2a - a(1-\cos t))^2] a(1-\cos t)dt = \pi a\int_0^{2\pi} [4a^2 - a^2(1+\cos t)^2] (1-\cos t)dt$。 步骤4：化简得$V = \pi a^3\int_0^{2\pi} (4 - (1+\cos t)^2)(1-\cos t)dt = \pi a^3\int_0^{2\pi} (3 - 2\cos t - \cos^2 t)(1-\cos t)dt$。 步骤5：展开并利用$\int_0^{2\pi} \cos^n t dt$的公式计算得$V=7\pi^2 a^3$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定体积元素
摆线一拱与x轴围成图形，绕y=2a旋转，使用圆盘法。取x为积分变量，体积元素dV = π[(2a)^2 - (2a-y)^2]dx = π[4a^2 - (2a-y)^2]dx。
公式：dV = π[(2a)^2 - (2a-y)^2]dx
提示：注意旋转轴为y=2a，圆盘外半径2a，内半径2a-y。
步骤 2/5
目标：参数化积分变量
将x和y用参数t表示：x=a(t-sin t)，y=a(1-cos t)，dx=a(1-cos t)dt，t从0到2π。
公式：dx = a(1-cos t)dt
提示：参数t的范围对应摆线一拱。
步骤 3/5
目标：代入并化简被积函数
代入y和dx，得V = π∫₀^{2π} [4a² - (2a - a(1-cos t))²] a(1-cos t)dt = πa∫₀^{2π} [4a² - a²(1+cos t)²] (1-cos t)dt = πa³∫₀^{2π} [4 - (1+cos t)²] (1-cos t)dt。
公式：V = πa³∫₀^{2π} [4 - (1+cos t)²] (1-cos t)dt
提示：注意(2a - a(1-cos t)) = a(1+cos t)。
步骤 4/5
目标：展开被积函数
展开(1+cos t)² = 1+2cos t+cos²t，则4 - (1+2cos t+cos²t) = 3 - 2cos t - cos²t。所以被积函数为(3 - 2cos t - cos²t)(1-cos t)。
公式：(3 - 2cos t - cos²t)(1-cos t)
提示：展开时注意符号。
步骤 5/5
目标：计算定积分
展开乘积并利用∫₀^{2π} cosⁿ t dt的公式计算。具体地，展开得3 - 5cos t + cos²t + 2cos³t - cos⁴t。积分后得到V = 7π²a³。
公式：∫₀^{2π} cosⁿ t dt 的公式
提示：注意cos的奇次幂在0到2π上积分为0，偶次幂用倍角公式。
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