kaoyan1basic 高等数学 第71题
📝 题目
## 第71题 (高等数学 - 填空题) 设星形线方程为 $$ $\left\{\begin{array}{l}$ x=a \cos ^{3} t \\ y=a \sin ^{3} t $\end{array}\right.$ $$ 则它所围成的面积 $A$ 为 $\_\_\_\_$ ，它的弧长 $L$ 为 $\_\_\_\_$ ，它绕 $x$ 轴旋转而生成的旋转体体积 $V$ 为 $\_\_\_\_$ ，该旋转体的侧面积 $S=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle A=\frac{3}{8}\pi a^2, L=6a, V=\frac{32}{105}\pi a^3, S=\frac{12}{5}\pi a^2$ **解析**：步骤1：面积$A=4\int_0^a y dx$，参数化$x=a\cos^3 t, y=a\sin^3 t$，$dx=-3a\cos^2 t\sin t dt$，$t$从$\displaystyle \frac{\pi}{2}$到$0$，$\displaystyle A=4\int_{\pi/2}^0 a\sin^3 t (-3a\cos^2 t\sin t)dt = 12a^2\int_0^{\pi/2} \sin^4 t\cos^2 t dt = \frac{3}{8}\pi a^2$。 步骤2：弧长$L=4\int_0^{\pi/2} \sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}dt = 4\int_0^{\pi/2} 3a|\sin t\cos t|dt = 12a\int_0^{\pi/2} \sin t\cos t dt = 6a$。 步骤3：体积$\displaystyle V=2\int_0^a \pi y^2 dx = 2\pi\int_{\pi/2}^0 a^2\sin^6 t (-3a\cos^2 t\sin t)dt = 6\pi a^3\int_0^{\pi/2} \sin^7 t\cos^2 t dt = \frac{32}{105}\pi a^3$。 步骤4：侧面积$\displaystyle S=2\int_0^a 2\pi y ds = 4\pi\int_0^{\pi/2} a\sin^3 t \cdot 3a\sin t\cos t dt = 12\pi a^2\int_0^{\pi/2} \sin^4 t\cos t dt = \frac{12}{5}\pi a^2$。 **难度**：★★★★☆