kaoyan1basic 高等数学 第72题

**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{6}(5\sqrt{5}-1)$ **解析**：步骤1：曲线$y=\sqrt{x-1}$，过原点切线，设切点为$(x_0,\sqrt{x_0-1})$，斜率$\displaystyle y'=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}$，切线方程$\displaystyle y=\frac{1}{2\sqrt{x_0-1}}x$，过原点得$\displaystyle \sqrt{x_0-1}=\frac{x_0}{2\sqrt{x_0-1}}$，解得$x_0=2$，切点$(2,1)$，切线$\displaystyle y=\frac{1}{2}x$。 步骤2：旋转体表面积由两部分组成：曲线段绕x轴旋转的侧面积和切线段的侧面积。 步骤3：曲线段$y=\sqrt{x-1}$，$x\in[1,2]$，侧面积$\displaystyle S_1=2\pi\int_1^2 y\sqrt{1+(y')^2}dx = 2\pi\int_1^2 \sqrt{x-1}\sqrt{1+\frac{1}{4(x-1)}}dx = 2\pi\int_1^2 \sqrt{x-1+\frac{1}{4}}dx = 2\pi\int_1^2 \sqrt{x-\frac{3}{4}}dx = \frac{4\pi}{3}(x-\frac{3}{4})^{3/2}\big|_1^2 = \frac{4\pi}{3}(\frac{5\sqrt{5}}{8}-\frac{1}{8}) = \frac{\pi}{6}(5\sqrt{5}-1)$。 步骤4：切线段$\displaystyle y=\frac{1}{2}x$，$x\in[0,2]$，侧面积$\displaystyle S_2=2\pi\int_0^2 \frac{x}{2}\sqrt{1+(\frac{1}{2})^2}dx = \pi\sqrt{5}\int_0^2 \frac{x}{2}dx = \frac{\pi\sqrt{5}}{2}\cdot2 = \pi\sqrt{5}$。 步骤5：总表面积$\displaystyle S=S_1+S_2 = \frac{\pi}{6}(5\sqrt{5}-1) + \pi\sqrt{5} = \frac{\pi}{6}(11\sqrt{5}-1)$。 **难度**：★★★★☆