kaoyan1basic 高等数学 第73题
📝 题目
## 第73题 (高等数学 - 填空题) 已知抛物叶形线的一部分： $$ y^{2}=\frac{x}{9}(3-x)^{2}(0 \leqslant x \leqslant 3) $$ 如图所示，它围成的图形为 $M$ ，则 $M$ 的面积 $A=$ $\_\_\_\_$ ，$M$ 的质心 （形心）$(\bar{x}, \bar{y})=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle A=\frac{8}{15}, (\bar{x},\bar{y})=(\frac{9}{8},0)$ **解析**：步骤1：曲线关于x轴对称，面积$\displaystyle A=2\int_0^3 y dx = 2\int_0^3 \sqrt{\frac{x}{9}}(3-x)dx = \frac{2}{3}\int_0^3 \sqrt{x}(3-x)dx = \frac{2}{3}\int_0^3 (3x^{1/2} - x^{3/2})dx = \frac{2}{3}[2x^{3/2} - \frac{2}{5}x^{5/2}]_0^3 = \frac{2}{3}(2\cdot3\sqrt{3} - \frac{2}{5}\cdot9\sqrt{3}) = \frac{2}{3}\cdot\frac{12\sqrt{3}}{5} = \frac{8\sqrt{3}}{5}$。 步骤2：形心$\displaystyle \bar{x}=\frac{1}{A}\int_M x d\sigma = \frac{2}{A}\int_0^3 x y dx = \frac{2}{A}\int_0^3 x\cdot\frac{1}{3}\sqrt{x}(3-x)dx = \frac{2}{3A}\int_0^3 (3x^{3/2} - x^{5/2})dx = \frac{2}{3A}[\frac{6}{5}x^{5/2} - \frac{2}{7}x^{7/2}]_0^3 = \frac{2}{3A}\cdot\frac{72\sqrt{3}}{35} = \frac{48\sqrt{3}}{35A}$，代入$\displaystyle A=\frac{8\sqrt{3}}{5}$得$\displaystyle \bar{x}=\frac{48\sqrt{3}}{35}\cdot\frac{5}{8\sqrt{3}} = \frac{6}{7}$。 步骤3：由对称性，$\bar{y}=0$。 **难度**：★★★★☆