kaoyan1basic 高等数学 第77题
📝 题目
## 第77题 (高等数学 - 填空题) 设 $a>0$ 是常数，连续函数 $f(x)$ 满足 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=b, y=y(x)$ 是微分方程 $$ y^{\prime \prime}+a y^{\prime}=f(x) \quad(x \in[0,+\infty)) $$ 的解，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} y^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ， $\lim _{x \rightarrow+\infty} y^{\prime \prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{b}{a}$；$0$ **解析**： 步骤1：方程$y''+ay'=f(x)$，两边取极限$x\to+\infty$，设$\lim y'=A$，$\lim y''=B$，则$B+aA=b$。 步骤2：若$B\neq0$，则$y'$无界，矛盾，故$B=0$，从而$\displaystyle A=\frac{b}{a}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：设极限值并代入方程
设 $\lim_{x \to +\infty} y'(x) = A$，$\lim_{x \to +\infty} y''(x) = B$。对方程 $y'' + a y' = f(x)$ 两边取极限 $x \to +\infty$，利用 $\lim f(x) = b$，得 $B + aA = b$。
公式：$B + aA = b$
提示：注意极限存在的假设，后续需验证合理性。
步骤 2/3
目标：证明 $B=0$
反证法：若 $B \neq 0$，则 $y''$ 趋于非零常数，那么 $y'$ 将趋于无穷（因为导数的极限非零时原函数无界），与 $y'$ 极限存在矛盾。故 $B = 0$。
提示：利用导数极限与原函数极限的关系：若 $\lim y'' = B \neq 0$，则 $y'$ 无界。
步骤 3/3
目标：求解 $A$
由 $B=0$ 代入 $B + aA = b$，得 $aA = b$，所以 $A = \frac{b}{a}$。
公式：$A = \frac{b}{a}$
提示：注意 $a>0$ 保证分母非零。
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