kaoyan1basic 高等数学 第78题
📝 题目
## 第78题 (高等数学 - 填空题) 若通过点 $(1,0)$ 的曲线 $y=y(x)$ 上每一点 $(x, y)$ 处切线的斜率等于 $\displaystyle 1+\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}$ ，则此曲线的方程是 $\_\_\_\_$。 答题区 □
💡 答案解析
**答案**：$y=x\tan(\ln x)$ **解析**： 步骤1：由题意$\displaystyle y'=1+\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^2$，令$\displaystyle u=\frac{y}{x}$，则$y=xu$，$y'=u+xu'$，代入得$u+xu'=1+u+u^2$，即$xu'=1+u^2$。 步骤2：分离变量$\displaystyle \frac{du}{1+u^2}=\frac{dx}{x}$，积分得$\arctan u=\ln x+C$。 步骤3：由过点$(1,0)$，$x=1$时$y=0$，$u=0$，得$C=0$，故$\displaystyle \arctan\frac{y}{x}=\ln x$，即$y=x\tan(\ln x)$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：建立微分方程
由题意，曲线在点(x,y)处切线的斜率为y'，因此有y' = 1 + y/x + (y/x)^2。
公式：y' = 1 + y/x + (y/x)^2
提示：注意切线斜率的定义。
步骤 2/5
目标：变量代换简化方程
令u = y/x，则y = xu，y' = u + xu'。代入原方程得u + xu' = 1 + u + u^2，化简得xu' = 1 + u^2。
公式：xu' = 1 + u^2
提示：齐次微分方程常用代换u=y/x。
步骤 3/5
目标：分离变量并积分
分离变量得du/(1+u^2) = dx/x，两边积分得arctan u = ln|x| + C。
公式：∫ du/(1+u^2) = ∫ dx/x
提示：注意积分常数C的添加。
步骤 4/5
目标：利用初始条件确定常数
曲线过点(1,0)，即x=1时y=0，故u=0。代入得arctan0 = ln1 + C，即0 = 0 + C，所以C=0。
公式：arctan(0) = ln(1) + C ⇒ C=0
提示：初始条件用于确定常数。
步骤 5/5
目标：回代得到曲线方程
由arctan u = ln x，得u = tan(ln x)，即y/x = tan(ln x)，所以y = x tan(ln x)。
公式：y = x tan(ln x)
提示：注意定义域x>0。
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