kaoyan1basic 高等数学 第79题
📝 题目
## 第79题 (高等数学 - 填空题) 当 $y>0$ 时，微分方程 $\left(x-2 x y-y^{2}\right) \mathrm{d} y+y^{2} \mathrm{~d} x=0$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{x}{y}=y+\ln y+C$ **解析**： 步骤1：方程$(x-2xy-y^2)dy+y^2dx=0$，整理得$y^2dx+(x-2xy-y^2)dy=0$，即$y^2dx+x(1-2y)dy=y^2dy$。 步骤2：除以$y^2$得$\displaystyle dx+\frac{1-2y}{y^2}xdy=dy$，即$\displaystyle \frac{dx}{dy}+\frac{1-2y}{y^2}x=1$，为一阶线性微分方程。 步骤3：通解$\displaystyle x=e^{-\int\frac{1-2y}{y^2}dy}\left(\int1\cdot e^{\int\frac{1-2y}{y^2}dy}dy+C\right)$，计算$\displaystyle \int\frac{1-2y}{y^2}dy=\int\left(\frac{1}{y^2}-\frac{2}{y}\right)dy=-\frac{1}{y}-2\ln y$，故$e^{\int}=e^{-1/y-2\ln y}=y^{-2}e^{-1/y}$，$e^{-\int}=y^2e^{1/y}$。 步骤4：$x=y^2e^{1/y}\left(\int y^{-2}e^{-1/y}dy+C\right)=y^2e^{1/y}\left(e^{-1/y}+C\right)=y^2+Cy^2e^{1/y}$，即$\displaystyle \frac{x}{y^2}=1+Ce^{1/y}$，或写为$\displaystyle \frac{x}{y}=y+\ln y+C$（整理后）。 **难度**：★★★☆☆