kaoyan1basic 高等数学 第93题
📝 题目
## 第93题 (高等数学 - 填空题) 设函数 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，且满足 $\displaystyle 4 \frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}}-\frac{\partial^{2} f}{\partial v^{2}}=1$ ，又 $g(x, y)=f\left(x^{2}+\right. \left.y^{2}, x y\right)$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$x^2+y^2$ **解析**：步骤1：令$u=x^2+y^2$，$v=xy$，则$g(x,y)=f(u,v)$。 步骤2：$\displaystyle \frac{\partial g}{\partial x}=f_u\cdot2x+f_v\cdot y$，$\displaystyle \frac{\partial^2 g}{\partial x^2}=2f_u+4x^2 f_{uu}+2xy f_{uv}+y^2 f_{vv}$。 步骤3：$\displaystyle \frac{\partial g}{\partial y}=f_u\cdot2y+f_v\cdot x$，$\displaystyle \frac{\partial^2 g}{\partial y^2}=2f_u+4y^2 f_{uu}+2xy f_{uv}+x^2 f_{vv}$。 步骤4：$\displaystyle \frac{\partial^2 g}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}=4(x^2-y^2)f_{uu}+(y^2-x^2)f_{vv}=(x^2-y^2)(4f_{uu}-f_{vv})$。 步骤5：由条件$4f_{uu}-f_{vv}=1$，得原式$=x^2-y^2$。 **难度**：★★★☆☆