kaoyan1basic 高等数学 第94题
📝 题目
## 第94题 (高等数学 - 填空题) 设 $z=\int_{0}^{1}|x y-t| f(t) \mathrm{d} t, 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1$ ，其中 $f(x)$ 为连续函数，则 $z_{x x}^{\prime \prime}+z_{y y}^{\prime \prime}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$2f(xy)$ **解析**：步骤1：$z=\int_0^1|xy-t|f(t)dt$，分段处理：当$t\leq xy$时，$|xy-t|=xy-t$；当$t>xy$时，$|xy-t|=t-xy$。 步骤2：$z=\int_0^{xy}(xy-t)f(t)dt+\int_{xy}^1(t-xy)f(t)dt$。 步骤3：对$x$求偏导：$z_x=y\int_0^{xy}f(t)dt+xy\cdot y f(xy)-y f(xy)\cdot xy - \int_{xy}^1 y f(t)dt + (xy-xy)y f(xy)=y\int_0^{xy}f(t)dt-y\int_{xy}^1 f(t)dt$。 步骤4：$z_{xx}=y^2 f(xy)+y^2 f(xy)=2y^2 f(xy)$。同理$z_{yy}=2x^2 f(xy)$。 步骤5：$z_{xx}+z_{yy}=2(x^2+y^2)f(xy)$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：处理绝对值，将积分分段
由于被积函数含有绝对值|xy-t|，需要根据t与xy的大小关系去掉绝对值。当t≤xy时，|xy-t|=xy-t；当t>xy时，|xy-t|=t-xy。因此积分区间分为[0,xy]和[xy,1]两部分。
公式：z = ∫_0^{xy} (xy-t) f(t) dt + ∫_{xy}^1 (t-xy) f(t) dt
提示：注意积分限随x,y变化，后续求导时需使用含参变量积分求导法则。
步骤 2/5
目标：对x求一阶偏导z_x
利用含参变量积分求导公式：z_x = ∂/∂x [∫_0^{xy} (xy-t)f(t)dt] + ∂/∂x [∫_{xy}^1 (t-xy)f(t)dt]。分别计算两项：第一项，被积函数对x求导得y f(t)，积分上限对x求导得y，代入被积函数得(xy-xy)f(xy)=0；第二项，被积函数对x求导得-y f(t)，积分下限对x求导得y，代入被积函数得(t-xy)在t=xy处为0。最终化简得z_x = y∫_0^{xy} f(t)dt - y∫_{xy}^1 f(t)dt。
公式：z_x = y ∫_0^{xy} f(t) dt - y ∫_{xy}^1 f(t) dt
提示：注意积分限变化时，代入被积函数项会抵消，简化计算。
步骤 3/5
目标：对x求二阶偏导z_xx
对z_x再次对x求偏导：z_xx = ∂/∂x [y∫_0^{xy} f(t)dt - y∫_{xy}^1 f(t)dt] = y * y f(xy) - y * (-y f(xy)) = y^2 f(xy) + y^2 f(xy) = 2y^2 f(xy)。
公式：z_xx = 2y^2 f(xy)
提示：利用积分上限函数求导公式：d/dx ∫_0^{u(x)} f(t)dt = f(u(x)) u'(x)。
步骤 4/5
目标：由对称性得到z_yy
由于原表达式关于x和y对称，交换x和y可得z_yy = 2x^2 f(xy)。
公式：z_yy = 2x^2 f(xy)
提示：对称性可减少重复计算。
步骤 5/5
目标：计算z_xx + z_yy
将z_xx和z_yy相加得：z_xx + z_yy = 2y^2 f(xy) + 2x^2 f(xy) = 2(x^2+y^2) f(xy)。
公式：z_xx + z_yy = 2(x^2+y^2) f(xy)
提示：最终结果与f(xy)有关，注意不要遗漏因子。
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