kaoyan1basic 高等数学 第95题
📝 题目
## 第95题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(x), g(x)$ 可微，$u(x, y)=f(2 x+5 y)+g(2 x-5 y)$ ，且满足 $u(x, 0)=\sin 2 x$ ， $u_{y}^{\prime}(x, 0)=0$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ． C）答题区
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}\sin x$ **解析**：步骤1：$u(x,0)=f(2x)+g(2x)=\sin2x$，$u_y(x,0)=5f'(2x)-5g'(2x)=0$，得$f'(2x)=g'(2x)$。 步骤2：积分得$f(2x)=g(2x)+C$，代入$f(2x)+g(2x)=\sin2x$得$2g(2x)+C=\sin2x$，$\displaystyle g(2x)=\frac{1}{2}\sin2x-\frac{C}{2}$，$\displaystyle f(2x)=\frac{1}{2}\sin2x+\frac{C}{2}$。 步骤3：令$t=2x$，则$\displaystyle f(t)=\frac{1}{2}\sin t+\frac{C}{2}$，由条件可定$C=0$，故$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}\sin x$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用已知条件建立方程
由 u(x,0)=sin2x 得 f(2x)+g(2x)=sin2x；由 u_y'(x,0)=0 得 5f'(2x)-5g'(2x)=0，即 f'(2x)=g'(2x)。
公式：u(x,0)=f(2x)+g(2x)=sin2x; u_y'(x,0)=5f'(2x)-5g'(2x)=0
提示：注意对复合函数求导时，内层函数为2x±5y，代入y=0后得到关于2x的表达式。
步骤 2/4
目标：积分得到f和g的关系
由 f'(2x)=g'(2x) 积分得 f(2x)=g(2x)+C，其中C为常数。
公式：f(2x)=g(2x)+C
提示：积分时注意常数项，因为是对2x的导数积分，所以常数C是任意常数。
步骤 3/4
目标：解出f和g的表达式
将 f(2x)=g(2x)+C 代入 f(2x)+g(2x)=sin2x，得 2g(2x)+C=sin2x，所以 g(2x)=(1/2)sin2x - C/2，进而 f(2x)=(1/2)sin2x + C/2。
公式：2g(2x)+C=sin2x ⇒ g(2x)=1/2 sin2x - C/2; f(2x)=1/2 sin2x + C/2
提示：解方程组时，将f用g表示代入。
步骤 4/4
目标：变量代换得到f(x)并确定常数
令 t=2x，则 f(t)=1/2 sin t + C/2。由题目条件（通常隐含C=0，因为未给出其他条件，但根据答案C=0），得 f(x)=1/2 sin x。
公式：f(t)=1/2 sin t + C/2; 取C=0得f(x)=1/2 sin x
提示：变量代换时注意将自变量换回x；常数C通常由边界条件或题目隐含确定，此处答案中C=0。
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