kaoyan1basic 高等数学 第96题
📝 题目
## 第96题 (高等数学 - 填空题) 设 $z=f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=x+y$ ，且 $f(x, 0)=x, f(0, y)=y^{2}$ ，则 $f(x, y)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{x^2y}{2}+\frac{xy^2}{2}+x+y^2-xy$ **解析**：步骤1：$\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=x+y$，积分得$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=xy+\frac{y^2}{2}+\varphi(x)$。 步骤2：再积分得$\displaystyle z=\frac{x^2y}{2}+\frac{xy^2}{2}+\int\varphi(x)dx+\psi(y)$。 步骤3：由$f(x,0)=x$得$\int\varphi(x)dx+\psi(0)=x$，故$\int\varphi(x)dx=x-\psi(0)$，$\varphi(x)=1$。 步骤4：由$f(0,y)=y^2$得$\psi(y)=y^2$，且$\psi(0)=0$，故$\int\varphi(x)dx=x$。 步骤5：代入得$\displaystyle z=\frac{x^2y}{2}+\frac{xy^2}{2}+x+y^2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：对混合偏导积分得到一阶偏导
由 ∂²z/∂x∂y = x+y，对 y 积分得 ∂z/∂x = xy + y²/2 + φ(x)。
公式：∂z/∂x = xy + y²/2 + φ(x)
提示：积分时注意将 x 视为常数，并引入关于 x 的任意函数 φ(x)。
步骤 2/5
目标：对一阶偏导积分得到原函数
对 ∂z/∂x 关于 x 积分得 z = x²y/2 + xy²/2 + ∫φ(x)dx + ψ(y)。
公式：z = x²y/2 + xy²/2 + ∫φ(x)dx + ψ(y)
提示：积分后引入关于 y 的任意函数 ψ(y)。
步骤 3/5
目标：利用边界条件 f(x,0)=x 确定部分函数
代入 y=0 得 f(x,0) = ∫φ(x)dx + ψ(0) = x，所以 ∫φ(x)dx = x - ψ(0)。
公式：∫φ(x)dx + ψ(0) = x
提示：注意 f(x,0) 中 y=0 时含 y 的项为零。
步骤 4/5
目标：利用边界条件 f(0,y)=y² 确定 ψ(y)
代入 x=0 得 f(0,y) = ψ(y) = y²，因此 ψ(0)=0。
公式：ψ(y) = y²
提示：由 ψ(0)=0 可得 ∫φ(x)dx = x。
步骤 5/5
目标：代入得到最终表达式
将 ∫φ(x)dx = x 和 ψ(y)=y² 代入 z 的表达式得 f(x,y)= x²y/2 + xy²/2 + x + y²。
公式：f(x,y) = x²y/2 + xy²/2 + x + y²
提示：检查是否满足所有条件。
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