kaoyan1basic 高等数学 第97题
📝 题目
## 第97题 (高等数学 - 填空题) 设连续函数 $z=f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 1}} \frac{f(x, y)-2 x+y-2}{\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}}=0$ ，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,1)}=$ $\_\_\_\_$ ． ## O
纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$2\mathrm{d}x-\mathrm{d}y$ **解析**：步骤1：由极限知$f(0,1)=2\cdot0-1+2=1$，且$f(x,y)$在$(0,1)$处可微，线性近似为$f(x,y)\approx f(0,1)+f_x(0,1)x+f_y(0,1)(y-1)$。 步骤2：极限式等价于$\displaystyle \frac{f(x,y)-2x+y-2}{\sqrt{x^2+(y-1)^2}}\to0$，故$f(x,y)-2x+y-2$是比$\sqrt{x^2+(y-1)^2}$高阶的无穷小。 步骤3：比较得$f_x(0,1)=2$，$f_y(0,1)=-1$，所以$\mathrm{d}z|_{(0,1)}=2\mathrm{d}x-\mathrm{d}y$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定函数值 f(0,1)
由极限条件，当 (x,y)→(0,1) 时，分子趋于0，故 f(0,1) - 2*0 + 1 - 2 = 0，解得 f(0,1)=1。
提示：极限存在且分母趋于0，则分子必须趋于0。
步骤 2/4
目标：利用极限定义判断可微性
极限式表明 f(x,y) - (2x - y + 2) 是比 √(x^2+(y-1)^2) 高阶的无穷小，因此 f(x,y) 在 (0,1) 处可微，且线性部分为 2x - y + 2。
公式：f(x,y) = f(0,1) + f_x(0,1)x + f_y(0,1)(y-1) + o(√(x^2+(y-1)^2))
提示：比较系数可得偏导数值。
步骤 3/4
目标：比较系数得到偏导数
由 f(x,y) ≈ 1 + f_x(0,1)x + f_y(0,1)(y-1) 与 2x - y + 2 = 1 + 2x - (y-1) 对比，得 f_x(0,1)=2，f_y(0,1)=-1。
提示：注意常数项匹配：f(0,1)=1。
步骤 4/4
目标：写出全微分
全微分 dz = f_x(0,1)dx + f_y(0,1)dy = 2dx - dy。
公式：dz|_{(0,1)} = 2dx - dy
提示：最终答案。
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