kaoyan1basic 高等数学 第98题
📝 题目
## 第98题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-a-b x-c y}{\ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right)}=1$ ，其中 $a, b, c$ 为常数，则 $\left.\mathrm{d} f(x, y)\right|_{(0,0)}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$b\mathrm{d}x+c\mathrm{d}y$ **解析**：步骤1：$\ln(1+x^2+y^2)\sim x^2+y^2$（当$(x,y)\to(0,0)$），极限为1表明$f(x,y)-a-bx-cy$与$x^2+y^2$同阶。 步骤2：由连续性，$f(0,0)=a$。 步骤3：由极限式，$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-f(0,0)-bx-cy}{x^2+y^2}=1$，故$f$在$(0,0)$处可微且$f_x(0,0)=b$，$f_y(0,0)=c$。 步骤4：$\mathrm{d}f|_{(0,0)}=b\mathrm{d}x+c\mathrm{d}y$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用等价无穷小简化极限条件
当 (x,y)→(0,0) 时，ln(1+x^2+y^2) ~ x^2+y^2，因此极限条件化为 lim_{(x,y)→(0,0)} [f(x,y)-a-bx-cy]/(x^2+y^2) = 1。
公式：ln(1+u) ~ u (u→0)
提示：注意等价无穷小替换时，分母趋于0，分子也必须趋于0，否则极限不存在。
步骤 2/4
目标：由连续性确定 f(0,0) 的值
由于 f 在 (0,0) 处连续，且极限为1，令 (x,y)→(0,0)，分子 f(x,y)-a-bx-cy 趋于 f(0,0)-a，分母趋于0，极限存在要求分子趋于0，故 f(0,0)=a。
公式：连续性：lim_{(x,y)→(0,0)} f(x,y) = f(0,0)
提示：极限存在且分母趋于0，分子必须趋于0。
步骤 3/4
目标：利用极限判断可微性并求偏导数
由极限式 lim_{(x,y)→(0,0)} [f(x,y)-f(0,0)-bx-cy]/(x^2+y^2)=1，可知 f 在 (0,0) 处可微，且 f_x(0,0)=b，f_y(0,0)=c。
公式：可微定义：f(x,y)-f(0,0)-f_x(0,0)x-f_y(0,0)y = o(√(x^2+y^2))
提示：这里分母是 x^2+y^2，比 √(x^2+y^2) 高阶，但极限为1说明分子与分母同阶，因此可微。
步骤 4/4
目标：写出全微分
由可微性，全微分 df|_{(0,0)} = f_x(0,0)dx + f_y(0,0)dy = b dx + c dy。
公式：df = f_x dx + f_y dy
提示：全微分形式与线性主部一致。
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