kaoyan1basic 高等数学 第100题
📝 题目
## 第100题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(x, y, z)=\mathrm{e}^{x}+y^{2} z$ ，其中 $z=z(x, y)$ 是由方程 $x+y+z+x y z=0$ 所确定的隐函数，则 $f_{x}^{\prime}(0,1,-1)=$ $\_\_\_\_$ ． □
💡 答案解析
**答案**：$0$ **解析**：步骤1：$f_x=\mathrm{e}^x+z_x y^2$，需先求$z_x$。 步骤2：方程$x+y+z+xyz=0$两边对$x$求偏导：$1+z_x+yz+xy z_x=0$，代入$(0,1,-1)$得$1+z_x+1\cdot(-1)+0=0$，即$z_x=0$。 步骤3：$f_x(0,1,-1)=\mathrm{e}^0+0\cdot1^2=1$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求 f 对 x 的偏导数表达式
由 f(x,y,z)=e^x + y^2 z，对 x 求偏导得 f_x = e^x + y^2 z_x，其中 z_x 是隐函数 z(x,y) 对 x 的偏导。
公式：f_x = e^x + y^2 z_x
提示：注意 z 是 x,y 的函数，求偏导时需使用链式法则。
步骤 2/4
目标：求隐函数 z 对 x 的偏导数 z_x
对方程 x+y+z+xyz=0 两边关于 x 求偏导，将 y 视为常数：1 + 0 + z_x + yz + xy z_x = 0，即 1 + z_x + yz + xy z_x = 0。
公式：1 + z_x + yz + xy z_x = 0
提示：注意对 x 求偏导时，z 是 x 的函数，所以 z 对 x 的偏导为 z_x，而 xyz 项需用乘法法则。
步骤 3/4
目标：代入点 (0,1,-1) 求解 z_x
将 x=0, y=1, z=-1 代入上式：1 + z_x + 1*(-1) + 0*1*z_x = 0，即 1 + z_x -1 = 0，得 z_x = 0。
公式：1 + z_x - 1 = 0 ⇒ z_x = 0
提示：代入时注意 x=0 使得 xy z_x 项为零。
步骤 4/4
目标：计算 f_x(0,1,-1)
将 x=0, y=1, z=-1 及 z_x=0 代入 f_x 表达式：f_x(0,1,-1) = e^0 + 1^2 * 0 = 1 + 0 = 1。
公式：f_x(0,1,-1) = 1
提示：注意 e^0 = 1。
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