kaoyan1basic 高等数学 第101题
📝 题目
## 第101题 (高等数学 - 填空题) 若函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $\mathrm{e}^{x+2 y+3 z}+x y z=1$ 确定，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,0)}=$ $\_\_\_\_$ ． ✓ 纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{1}{3}\mathrm{d}x-\frac{2}{3}\mathrm{d}y$ **解析**：步骤1：方程$\mathrm{e}^{x+2y+3z}+xyz=1$两边微分：$\mathrm{e}^{x+2y+3z}(\mathrm{d}x+2\mathrm{d}y+3\mathrm{d}z)+yz\mathrm{d}x+xz\mathrm{d}y+xy\mathrm{d}z=0$。 步骤2：代入$(0,0)$，此时$z$满足$\mathrm{e}^{0+0+3z}+0=1$，得$\mathrm{e}^{3z}=1$，$z=0$。 步骤3：代入得$1\cdot(\mathrm{d}x+2\mathrm{d}y+3\mathrm{d}z)+0+0+0=0$，即$\mathrm{d}x+2\mathrm{d}y+3\mathrm{d}z=0$，故$\displaystyle \mathrm{d}z=-\frac{1}{3}\mathrm{d}x-\frac{2}{3}\mathrm{d}y$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：对方程两边求全微分
方程 e^{x+2y+3z} + xyz = 1 两边同时求全微分，得到 e^{x+2y+3z}(dx + 2dy + 3dz) + yz dx + xz dy + xy dz = 0。
公式：d(e^{x+2y+3z}) = e^{x+2y+3z}(dx+2dy+3dz); d(xyz)=yz dx + xz dy + xy dz
提示：注意隐函数求导时，z 是 x,y 的函数，所以 dz 要保留。
步骤 2/4
目标：确定点 (0,0) 处的 z 值
将 x=0, y=0 代入原方程：e^{0+0+3z} + 0 = 1，即 e^{3z}=1，解得 z=0。
公式：e^{3z}=1 ⇒ z=0
提示：代入时要小心，确保求出正确的 z 值。
步骤 3/4
目标：代入 (0,0,0) 到微分方程中
将 x=0, y=0, z=0 代入第一步得到的微分方程：e^{0}(dx+2dy+3dz) + 0 + 0 + 0 = 0，即 dx + 2dy + 3dz = 0。
公式：dx + 2dy + 3dz = 0
提示：注意 e^{0}=1，且含有 x,y,z 的项均为0。
步骤 4/4
目标：解出 dz
由 dx + 2dy + 3dz = 0 解得 dz = -1/3 dx - 2/3 dy。
公式：dz = -1/3 dx - 2/3 dy
提示：注意系数不要写反。
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