kaoyan1basic 高等数学 第102题
📝 题目
## 第102题 (高等数学 - 填空题) 设函数 $f(u, v)$ 可微，$z=z(x, y)$ 由方程 $(x+1) z-y^{2}=x^{2} f(x-z, y)$ 确定，则 $\left.\mathrm{d} \boldsymbol{z}\right|_{(0,1)}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$-\mathrm{d}x+\mathrm{d}y$ **解析**：步骤1：方程$(x+1)z-y^2=x^2f(x-z,y)$，代入$(0,1)$得$(0+1)z-1=0$，故$z=1$。 步骤2：两边微分：$(x+1)\mathrm{d}z+z\mathrm{d}x-2y\mathrm{d}y=2x f\mathrm{d}x+x^2(f_u(\mathrm{d}x-\mathrm{d}z)+f_v\mathrm{d}y)$。 步骤3：代入$(0,1,1)$：$1\cdot\mathrm{d}z+1\cdot\mathrm{d}x-2\cdot1\mathrm{d}y=0+0$，即$\mathrm{d}z+\mathrm{d}x-2\mathrm{d}y=0$，故$\mathrm{d}z=-\mathrm{d}x+2\mathrm{d}y$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定初始点处的z值
将点(0,1)代入方程(x+1)z - y^2 = x^2 f(x-z, y)，得(0+1)z - 1 = 0，解得z=1。
公式：(0+1)z - 1 = 0
提示：代入时注意x=0，y=1，方程右边为0。
步骤 2/4
目标：对方程两边求全微分
对方程(x+1)z - y^2 = x^2 f(x-z, y)两边求全微分，利用微分法则：d[(x+1)z] = (x+1)dz + z dx，d(y^2)=2y dy，d[x^2 f] = 2x f dx + x^2 (f_u d(x-z) + f_v dy) = 2x f dx + x^2 [f_u (dx - dz) + f_v dy]。
公式：(x+1)dz + z dx - 2y dy = 2x f dx + x^2 [f_u (dx - dz) + f_v dy]
提示：注意f是二元函数，需用链式法则。
步骤 3/4
目标：代入已知点(0,1,1)化简
代入x=0，y=1，z=1，得左边： (0+1)dz + 1·dx - 2·1 dy = dz + dx - 2dy；右边：2·0·f dx + 0 = 0。因此有 dz + dx - 2dy = 0。
公式：dz + dx - 2dy = 0
提示：注意x=0时右边项均为0。
步骤 4/4
目标：解出dz的表达式
由dz + dx - 2dy = 0，移项得 dz = -dx + 2dy。
公式：dz = -dx + 2dy
提示：注意符号。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。