kaoyan1basic 高等数学 第104题
📝 题目
## 第104题 (高等数学 - 填空题) 二元函数 $f(x, y)=x^{2}\left(2+y^{2}\right)+y \ln y$ 的极小值为 $\_\_\_\_$ ． Q
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{1}{\mathrm{e}}$ **解析**：步骤1：求驻点：$f_x=2x(2+y^2)=0$得$x=0$；$f_y=2x^2y+\ln y+1=0$，代入$x=0$得$\ln y+1=0$，$\displaystyle y=\frac{1}{\mathrm{e}}$。 步骤2：求二阶偏导：$f_{xx}=2(2+y^2)$，$f_{xy}=4xy$，$\displaystyle f_{yy}=2x^2+\frac{1}{y}$。 步骤3：在$\displaystyle (0,\frac{1}{\mathrm{e}})$处，$\displaystyle A=f_{xx}=2(2+\frac{1}{\mathrm{e}^2})>0$，$B=f_{xy}=0$，$C=f_{yy}=\mathrm{e}>0$，$AC-B^2>0$，为极小值。 步骤4：极小值$\displaystyle f(0,\frac{1}{\mathrm{e}})=0+\frac{1}{\mathrm{e}}\ln\frac{1}{\mathrm{e}}=-\frac{1}{\mathrm{e}}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求驻点
求一阶偏导数：f_x = 2x(2+y^2)，f_y = 2x^2 y + ln y + 1。令 f_x=0 得 x=0；代入 f_y=0 得 ln y + 1 = 0，解得 y = 1/e。
公式：f_x=2x(2+y^2)=0, f_y=2x^2 y+ln y+1=0
提示：注意 ln y 的定义域 y>0。
步骤 2/4
目标：求二阶偏导
计算二阶偏导数：f_xx = 2(2+y^2)，f_xy = 4xy，f_yy = 2x^2 + 1/y。
公式：f_xx=2(2+y^2), f_xy=4xy, f_yy=2x^2+1/y
步骤 3/4
目标：判断极值点
在点 (0, 1/e) 处，计算 A = f_xx = 2(2+1/e^2) > 0，B = f_xy = 0，C = f_yy = e > 0，判别式 AC - B^2 = 2(2+1/e^2)*e > 0，且 A>0，故为极小值点。
公式：AC-B^2 > 0 且 A>0 为极小值
提示：注意二阶偏导的符号。
步骤 4/4
目标：计算极小值
代入 x=0, y=1/e 到原函数：f(0,1/e) = 0 + (1/e)*ln(1/e) = -1/e。
公式：f(0,1/e) = -1/e
提示：ln(1/e) = -1。
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