kaoyan1basic 高等数学 第105题
📝 题目
## 第105题 (高等数学 - 填空题) 设方程式 $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-2 y-4 z-10=0$ 确定某隐函数 $z=z(x, y)>0$ ，则 $z=z(x, y)$ 的极 $\_\_\_\_$值点是 $\_\_\_\_$ ，相应的极值是 $\_\_\_\_$。 答题 区
💡 答案解析
**答案**：极小值点 $(1,1)$，极小值 $3$ **解析**： 步骤1：将方程化为标准形式 $(x-1)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=16$，由 $z>0$ 得 $z=2+\sqrt{16-(x-1)^2-(y-1)^2}$。 步骤2：求偏导 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{x-1}{z-2}$，$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{y-1}{z-2}$，令其为零得 $x=1,y=1$。 步骤3：代入得 $z=2+\sqrt{16}=6$，但注意原方程中 $z$ 满足 $z=2+\sqrt{16-(x-1)^2-(y-1)^2}$，在 $(1,1)$ 处 $z=6$ 为极大值？检查：实际 $z=2+\sqrt{16-0}=6$，但题目要求 $z>0$，且由方程知 $z$ 有最小值？重新计算：由 $(z-2)^2=16-(x-1)^2-(y-1)^2$，$z=2\pm\sqrt{...}$，取 $z>0$ 且 $z$ 较小者为 $z=2-\sqrt{...}$，此时在 $(1,1)$ 处 $z=2-4=-2$ 不满足 $z>0$，故应取 $z=2+\sqrt{...}$，在 $(1,1)$ 处 $z=6$ 为极大值？但题目说极____值点，需判断。 步骤4：计算二阶偏导得 $\displaystyle A=\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=\frac{1}{z-2}+\frac{(x-1)^2}{(z-2)^3}$，在 $(1,1)$ 处 $\displaystyle A=\frac{1}{4}>0$，$AC-B^2>0$，故为极小值点，极小值 $z=2+\sqrt{16}=6$？矛盾：$A>0$ 应为极小值，但 $z=6$ 是最大值？实际上 $z=2+\sqrt{...}$ 在 $(1,1)$ 处取最大值 $6$，但 $A>0$ 表明是极小值？检查：$z=2+\sqrt{16-r^2}$，$r=0$ 时 $z$ 最大，但二阶导为正？因为函数是凹函数？重新求导：$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{x-1}{\sqrt{16-(x-1)^2-(y-1)^2}}$，二阶导 $\displaystyle A=-\frac{1}{\sqrt{...}}+\frac{(x-1)^2}{(\sqrt{...})^3}$，在 $(1,1)$ 处 $\displaystyle A=-\frac{1}{4}<0$，故为极大值点。正确答案：极大值点 $(1,1)$，极大值 $6$。 **难度**：★★☆☆☆