kaoyan1basic 高等数学 第106题
📝 题目
## 第106题 (高等数学 - 填空题) 设 $a>0$ ，交换积分次序 $\int_{0}^{a} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{a y}} f(x, y) \mathrm{d} x+\int_{a}^{2 a} \mathrm{~d} y \int_{0}^{2 a-y} f(x, y) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\int_{0}^{a}\mathrm{d}x\int_{x^{2}/a}^{2a-x}f(x,y)\mathrm{d}y$ **解析**： 步骤1：积分区域由两部分组成：$0\le y\le a$，$0\le x\le\sqrt{ay}$；$a\le y\le 2a$，$0\le x\le 2a-y$。 步骤2：画出区域，$x$ 从 $0$ 到 $a$，对应 $y$ 下界为 $x^2/a$，上界为 $2a-x$。 步骤3：交换次序得 $\int_{0}^{a}\mathrm{d}x\int_{x^{2}/a}^{2a-x}f(x,y)\mathrm{d}y$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析积分区域
第一个积分：0≤y≤a，0≤x≤√(ay)；第二个积分：a≤y≤2a，0≤x≤2a-y。
提示：注意y的分段点a
步骤 2/4
目标：画出积分区域并确定x范围
由曲线x=√(ay)得y=x²/a；由直线x=2a-y得y=2a-x。两曲线交点为(a,a)。x的范围从0到a。
提示：联立方程求交点
步骤 3/4
目标：确定y的上下界
对于固定的x∈[0,a]，y的下界为曲线y=x²/a，上界为直线y=2a-x。
提示：注意下界是抛物线，上界是直线
步骤 4/4
目标：写出交换次序后的积分
∫_{0}^{a} dx ∫_{x²/a}^{2a-x} f(x,y) dy
提示：先对y积分，再对x积分
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