kaoyan1basic 高等数学 第107题
📝 题目
## 第107题 (高等数学 - 填空题) 交换积分次序 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x^{2}} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{1}^{3} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\frac{1}{2}(3-x)} f(x, y) \mathrm{d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\int_{0}^{1}\mathrm{d}y\int_{\sqrt{y}}^{3-2y}f(x,y)\mathrm{d}x$ **解析**： 步骤1：第一部分：$0\le x\le 1$，$0\le y\le x^2$；第二部分：$1\le x\le 3$，$\displaystyle 0\le y\le \frac{1}{2}(3-x)$。 步骤2：画出区域，$y$ 从 $0$ 到 $1$，$x$ 下界为 $\sqrt{y}$，上界为 $3-2y$。 步骤3：交换次序得 $\int_{0}^{1}\mathrm{d}y\int_{\sqrt{y}}^{3-2y}f(x,y)\mathrm{d}x$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定原积分区域
第一部分积分区域：0≤x≤1，0≤y≤x²；第二部分积分区域：1≤x≤3，0≤y≤(3-x)/2。
提示：注意x的范围分段，y的上界由x决定。
步骤 2/3
目标：画出积分区域并确定新积分次序
画出区域：曲线y=x²（0≤x≤1）和直线y=(3-x)/2（1≤x≤3）围成。y从0到1，x下界为√y，上界为3-2y。
公式：x=√y 和 x=3-2y
提示：由y=x²得x=√y；由y=(3-x)/2得x=3-2y。
步骤 3/3
目标：写出交换次序后的积分
交换次序后：∫₀¹ dy ∫_{√y}^{3-2y} f(x,y) dx。
公式：∫₀¹ dy ∫_{√y}^{3-2y} f(x,y) dx
提示：注意积分限的对应关系。
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