kaoyan1basic 高等数学 第108题

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## 第108题 (高等数学 - 填空题) 将直角坐标系下的累次积分转换成极坐标系下的累次积分并计算 $\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2} R} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y \int_{0}^{y} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x+\int_{\frac{\sqrt{2}}{2} R}^{R} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{R^{2}-y^{2}}} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$。

💡 答案解析

**答案**：$\displaystyle \frac{\pi}{8}(1-\mathrm{e}^{-R^{2}})$ **解析**： 步骤1：积分区域为圆 $x^2+y^2\le R^2$ 在第一象限且 $x\le y$ 的部分。 步骤2：转换为极坐标：$\theta$ 从 $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ 到 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$，$r$ 从 $0$ 到 $R$，被积函数 $\mathrm{e}^{-r^2}$。 步骤3：$\displaystyle I=\int_{\pi/4}^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{R}\mathrm{e}^{-r^2}r\mathrm{d}r=\frac{\pi}{4}\cdot\frac{1}{2}(1-\mathrm{e}^{-R^2})=\frac{\pi}{8}(1-\mathrm{e}^{-R^2})$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：分析积分区域
第一个积分：y从0到√2/2 R，x从0到y，对应区域为直线x=y下方、y轴右侧、y≤√2/2 R。第二个积分：y从√2/2 R到R，x从0到√(R^2-y^2)，对应区域为圆x^2+y^2=R^2内部、x≥0、y≥√2/2 R。合并后，积分区域为圆x^2+y^2≤R^2在第一象限且x≤y的部分，即扇形区域：角度θ从π/4到π/2，半径r从0到R。
提示：注意两个积分区域拼接成完整的扇形。
步骤 2/3
目标：转换为极坐标
令x=r cosθ, y=r sinθ，则dx dy = r dr dθ。被积函数e^{-x^2} e^{-y^2} = e^{-(x^2+y^2)} = e^{-r^2}。积分区域：θ从π/4到π/2，r从0到R。因此I = ∫_{θ=π/4}^{π/2} dθ ∫_{r=0}^{R} e^{-r^2} r dr。
公式：dx dy = r dr dθ, x^2+y^2=r^2
提示：极坐标变换时不要漏掉雅可比行列式r。
步骤 3/3
目标：计算积分
先对r积分：∫_0^R e^{-r^2} r dr = [-1/2 e^{-r^2}]_0^R = 1/2 (1 - e^{-R^2})。再对θ积分：∫_{π/4}^{π/2} dθ = π/4。所以I = (π/4) * (1/2)(1 - e^{-R^2}) = π/8 (1 - e^{-R^2})。
公式：∫ e^{-r^2} r dr = -1/2 e^{-r^2} + C
提示：注意积分限代入时不要出错。

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