kaoyan1basic 高等数学 第109题
📝 题目
## 第109题 (高等数学 - 填空题) 交换积分次序 $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2 \cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r=$ $\_\_\_\_$ ． □
💡 答案解析
**答案**：$\int_{0}^{2}\mathrm{d}r\int_{-\pi/4}^{\arccos(r/2)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\mathrm{d}\theta$ **解析**： 步骤1：极坐标区域：$\theta$ 从 $-\pi/4$ 到 $\pi/2$，$r$ 从 $0$ 到 $2\cos\theta$。 步骤2：$r=2\cos\theta$ 即圆 $(x-1)^2+y^2=1$，$r$ 从 $0$ 到 $2$，对应 $\theta$ 下界 $-\pi/4$，上界 $\arccos(r/2)$。 步骤3：交换次序得 $\int_{0}^{2}\mathrm{d}r\int_{-\pi/4}^{\arccos(r/2)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\mathrm{d}\theta$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别积分区域
原积分次序为先θ后r：θ从-π/4到π/2，r从0到2cosθ。极坐标下，r=2cosθ对应圆(x-1)^2+y^2=1。
公式：r=2cosθ
提示：注意极坐标变换中r≥0，θ范围需对应区域。
步骤 2/4
目标：确定r的范围
由r=2cosθ，当θ从-π/4到π/2时，r的最大值为2（θ=0时），最小值为0。因此交换次序后r从0到2。
公式：r∈[0,2]
提示：r的上下界由区域边界决定。
步骤 3/4
目标：确定θ的范围
对于固定的r，θ满足r≤2cosθ，即cosθ≥r/2。由于θ∈[-π/4,π/2]，解得θ从-π/4到arccos(r/2)。注意arccos值域为[0,π]，但此处arccos(r/2)∈[0,π/2]。
公式：θ∈[-π/4, arccos(r/2)]
提示：arccos(r/2)随r增大而减小，当r=2时，arccos(1)=0。
步骤 4/4
目标：写出交换次序后的积分
交换次序后，先对θ积分，再对r积分，被积函数不变，积分限为r从0到2，θ从-π/4到arccos(r/2)。
公式：∫_{0}^{2} dr ∫_{-π/4}^{arccos(r/2)} f(rcosθ, rsinθ) r dθ
提示：注意被积函数中的r不能遗漏。
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