kaoyan1basic 高等数学 第117题

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## 第117题 (高等数学 - 填空题) 已知函数 $f(t)=\int_{0}^{t} \mathrm{~d} x \int_{x}^{t} \mathrm{e}^{t y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，则 $f^{\prime}(1)=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区 －纠错笔记

💡 答案解析

**答案**：$\mathrm{e}-1$ **解析**： 步骤1：$f(t)=\int_{0}^{t}\mathrm{d}x\int_{x}^{t}\mathrm{e}^{ty^2}\mathrm{d}y$，求导 $f'(t)=\int_{0}^{t}\mathrm{d}x\left[\mathrm{e}^{ty^2}\big|_{y=t}\cdot1+\int_{x}^{t}\mathrm{e}^{ty^2}y^2\mathrm{d}y\right]+\int_{t}^{t}\cdots$，注意积分限含 $t$。 步骤2：由莱布尼茨公式，$f'(t)=\int_{0}^{t}\mathrm{e}^{t\cdot t^2}\mathrm{d}x+\int_{0}^{t}\mathrm{d}x\int_{x}^{t}y^2\mathrm{e}^{ty^2}\mathrm{d}y$，第一项 $=t\mathrm{e}^{t^3}$。 步骤3：交换积分次序：$\int_{0}^{t}\mathrm{d}x\int_{x}^{t}y^2\mathrm{e}^{ty^2}\mathrm{d}y=\int_{0}^{t}\mathrm{d}y\int_{0}^{y}y^2\mathrm{e}^{ty^2}\mathrm{d}x=\int_{0}^{t}y^3\mathrm{e}^{ty^2}\mathrm{d}y$。 步骤4：$\displaystyle f'(1)=1\cdot\mathrm{e}^{1}+\int_{0}^{1}y^3\mathrm{e}^{y^2}\mathrm{d}y=\mathrm{e}+\frac{1}{2}\int_{0}^{1}u\mathrm{e}^{u}\mathrm{d}u$（令 $u=y^2$），计算得 $\displaystyle \mathrm{e}+\frac{1}{2}(1)=\mathrm{e}+\frac{1}{2}$？与答案不符。 步骤5：正确求导：$f(t)=\int_{0}^{t}\mathrm{d}x\int_{x}^{t}\mathrm{e}^{ty^2}\mathrm{d}y$，$f'(t)=\int_{0}^{t}\mathrm{e}^{t\cdot t^2}\mathrm{d}x+\int_{0}^{t}\mathrm{d}x\int_{x}^{t}y^2\mathrm{e}^{ty^2}\mathrm{d}y$，第一项 $=t\mathrm{e}^{t^3}$，第二项交换次序得 $\int_{0}^{t}y^3\mathrm{e}^{ty^2}\mathrm{d}y$，$\displaystyle f'(1)=\mathrm{e}+\int_{0}^{1}y^3\mathrm{e}^{y^2}\mathrm{d}y=\mathrm{e}+\frac{1}{2}\int_{0}^{1}u\mathrm{e}^{u}\mathrm{d}u=\mathrm{e}+\frac{1}{2}(1)=\mathrm{e}+0.5$，但答案 $\mathrm{e}-1$，可能计算有误。 **难度**：★★★★☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：写出f(t)的表达式并求导
已知f(t)=∫_0^t dx ∫_x^t e^{t y^2} dy，对t求导，注意积分上限含t，被积函数也含t。由莱布尼茨公式，f'(t)=∫_0^t e^{t·t^2} dx + ∫_0^t dx ∫_x^t y^2 e^{t y^2} dy = t e^{t^3} + ∫_0^t dx ∫_x^t y^2 e^{t y^2} dy。
公式：莱布尼茨公式：d/dt ∫_{a(t)}^{b(t)} F(t,y) dy = F(t,b(t)) b'(t) - F(t,a(t)) a'(t) + ∫_{a(t)}^{b(t)} ∂F/∂t dy
提示：注意被积函数e^{t y^2}对t求导得y^2 e^{t y^2}。
步骤 2/3
目标：交换积分次序简化第二项
第二项积分区域：0≤x≤t, x≤y≤t，即0≤y≤t, 0≤x≤y。交换次序得∫_0^t dy ∫_0^y y^2 e^{t y^2} dx = ∫_0^t y^3 e^{t y^2} dy。
公式：交换积分次序：∫_0^t dx ∫_x^t f(x,y) dy = ∫_0^t dy ∫_0^y f(x,y) dx
提示：画出积分区域，确定新的积分限。
步骤 3/3
目标：代入t=1计算f'(1)
f'(1)=1·e^{1^3} + ∫_0^1 y^3 e^{1·y^2} dy = e + ∫_0^1 y^3 e^{y^2} dy。令u=y^2，则du=2y dy，y^3 dy = (1/2) u du，积分限u从0到1。∫_0^1 y^3 e^{y^2} dy = (1/2)∫_0^1 u e^u du = (1/2)[(u-1)e^u]_0^1 = (1/2)[(0) - (-1)] = 1/2。所以f'(1)=e + 1/2。但答案给出e-1，可能解析有误，实际应为e+1/2。
公式：分部积分：∫ u e^u du = (u-1)e^u + C
提示：注意换元时积分限的变化。

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