kaoyan1basic 高等数学 第118题

**答案**：$\displaystyle \frac{1}{\pi}\sqrt{x^2+y^2}\cdot\frac{\pi}{4}+y^2$ 或具体 $\displaystyle f(x,y)=\frac{1}{4}\sqrt{x^2+y^2}+y^2$ **解析**： 步骤1：设 $A=\iint_{x^2+y^2\le 1}f(x,y)\mathrm{d}\sigma$，则 $\displaystyle f(x,y)=\frac{A}{\pi}\sqrt{x^2+y^2}+y^2$。 步骤2：两边在单位圆上积分：$\displaystyle A=\frac{A}{\pi}\iint_{x^2+y^2\le 1}\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{d}\sigma+\iint_{x^2+y^2\le 1}y^2\mathrm{d}\sigma$。 步骤3：$\displaystyle \iint\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{d}\sigma=\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{1}r\cdot r\mathrm{d}r=2\pi\cdot\frac{1}{3}=\frac{2\pi}{3}$，$\displaystyle \iint y^2\mathrm{d}\sigma=\frac{1}{2}\iint(x^2+y^2)\mathrm{d}\sigma=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{1}r^2\cdot r\mathrm{d}r=\frac{1}{2}\cdot2\pi\cdot\frac{1}{4}=\frac{\pi}{4}$。 步骤4：代入得 $\displaystyle A=\frac{A}{\pi}\cdot\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{2A}{3}+\frac{\pi}{4}$，解得 $\displaystyle A=\frac{3\pi}{4}$，故 $\displaystyle f(x,y)=\frac{1}{\pi}\sqrt{x^2+y^2}\cdot\frac{3\pi}{4}+y^2=\frac{3}{4}\sqrt{x^2+y^2}+y^2$。 **难度**：★★★☆☆