kaoyan1basic 高等数学 第129题
📝 题目
## 第129题 (高等数学 - 选择题) $f(x)=$\frac{\sin \pi x}{x-1} \mathrm{e}^{\frac{1}{(x-1)^{3}}}$ ，则当 $x \rightarrow 1$ 时有$ （A） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=-\pi$ ． （B） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=0$ ． （C） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=\infty$ ． （D） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)$ 不存在，且 $\lim _{x \rightarrow 1} f(x) \neq \infty$ \．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：$\displaystyle f(x) = \frac{\sin\pi x}{x-1} e^{\frac{1}{(x-1)^3}}$，当 $x\to1$ 时，$\displaystyle \frac{\sin\pi x}{x-1} = -\pi \frac{\sin\pi(1-x)}{\pi(1-x)} \to -\pi$。步骤2：$\displaystyle e^{\frac{1}{(x-1)^3}}$ 当 $x\to1^+$ 时，$(x-1)^3\to0^+$，指数 $+\infty$，极限 $+\infty$；当 $x\to1^-$ 时，$(x-1)^3\to0^-$，指数 $-\infty$，极限 $0$。步骤3：左右极限不相等且不为无穷，故极限不存在且不为无穷。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析函数在x→1时的行为
将f(x)分解为两部分：g(x)=sin(πx)/(x-1)和h(x)=e^{1/(x-1)^3}。分别求x→1时g(x)和h(x)的极限。
公式：f(x)=g(x)h(x)
提示：注意分解因式，分别处理
步骤 2/4
目标：求g(x)的极限
令t=1-x，则x=1-t，当x→1时t→0。sin(πx)=sin(π(1-t))=sin(π-πt)=sin(πt)。所以g(x)=sin(πt)/(-t) = -π sin(πt)/(πt) → -π (t→0)。
公式：lim_{t→0} sin(πt)/(πt)=1
提示：使用等价无穷小或重要极限
步骤 3/4
目标：求h(x)的左右极限
考虑x→1+和x→1-。当x→1+时，(x-1)^3→0+，1/(x-1)^3→+∞，所以h(x)→+∞。当x→1-时，(x-1)^3→0-，1/(x-1)^3→-∞，所以h(x)→0。
公式：e^{1/(x-1)^3}
提示：注意指数函数的极限取决于指数的正负
步骤 4/4
目标：综合左右极限
左极限：lim_{x→1-} f(x) = (-π)*0 = 0。右极限：lim_{x→1+} f(x) = (-π)*(+∞) = -∞。左右极限不相等且右极限为无穷，故极限不存在且不为无穷。
提示：左右极限不等则极限不存在
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