kaoyan1basic 高等数学 第128题
📝 题目
## 第128题 (高等数学 - 选择题) 设 $\displaystyle u_{n}=\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{2^{n}}\right)$ ，则下列命题正确的是 （A） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=0$ ． （B） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=A>0$ ． （C） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=+\infty$ ． （D） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}$ 不存在，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n} \neq+\infty$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：$\displaystyle u_n = \prod_{k=1}^n \left(1+\frac{1}{2^k}\right)$，单调递增。步骤2：取对数 $\displaystyle \ln u_n = \sum_{k=1}^n \ln\left(1+\frac{1}{2^k}\right) < \sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k} = 1 - \frac{1}{2^n} < 1$，故 $u_n < e$，有上界。步骤3：单调有界数列必有极限，且极限 $A>0$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析数列的单调性
由于每一项因子 (1+1/2^k) > 1，所以 u_n 随着 n 增大而严格递增，即 u_n 单调递增。
提示：注意每个因子都大于1，乘积必然递增。
步骤 2/3
目标：证明数列有上界
取对数得 ln u_n = Σ_{k=1}^n ln(1+1/2^k)。利用不等式 ln(1+x) < x (x>0)，有 ln(1+1/2^k) < 1/2^k，所以 ln u_n < Σ_{k=1}^n 1/2^k = 1 - 1/2^n < 1，因此 u_n < e，即数列有上界。
公式：ln(1+x) < x (x>0)
提示：常用放缩：ln(1+x) < x 用于证明上界。
步骤 3/3
目标：应用单调有界准则
数列单调递增且有上界，故极限存在。设极限为 A，由于 u_1 = 1+1/2 = 1.5 > 0，且递增，所以 A ≥ 1.5 > 0。
提示：单调有界数列必有极限，且极限不小于首项。
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