kaoyan1basic 高等数学 第127题
📝 题目
## 第127题 (高等数学 - 选择题) 当 $n \rightarrow \infty$ 时，数列 $\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}-\mathrm{e}$ 是 $\displaystyle \frac{1}{n}$ 的 （A）高阶无穷小。 （B）低阶无穷小。 （C）等价无穷小。 （D）同阶但非等价无穷小。 答题 区
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e$，考虑 $\displaystyle a_n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n - e$。步骤2：利用展开 $\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e^{n\ln(1+1/n)} = e^{1 - \frac{1}{2n} + \frac{1}{3n^2} + O(1/n^3)}$，得 $\displaystyle a_n = e \cdot e^{-\frac{1}{2n} + \frac{1}{3n^2} + \cdots} - e = e\left(1 - \frac{1}{2n} + \frac{11}{24n^2} + \cdots - 1\right) = -\frac{e}{2n} + O(1/n^2)$。步骤3：$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n} = -\frac{e}{2} \neq 0$，故为同阶非等价无穷小。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别数列极限形式
注意到当 $n \to \infty$ 时，$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \to e$，因此 $a_n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n - e$ 是无穷小量。需要比较 $a_n$ 与 $\frac{1}{n}$ 的阶数。
公式：$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e$
提示：明确比较对象是 $\frac{1}{n}$，考虑极限 $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n}$。
步骤 2/4
目标：展开 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$
利用指数与对数恒等式：$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e^{n\ln(1+1/n)}$。将 $\ln(1+1/n)$ 展开：$\ln(1+1/n) = \frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} + \frac{1}{3n^3} + O(1/n^4)$。于是 $n\ln(1+1/n) = 1 - \frac{1}{2n} + \frac{1}{3n^2} + O(1/n^3)$。
公式：$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + O(x^4)$
提示：展开到足够阶数，确保能比较阶数。
步骤 3/4
目标：计算 $a_n$ 的展开式
代入指数展开：$e^{1 - \frac{1}{2n} + \frac{1}{3n^2} + O(1/n^3)} = e \cdot e^{-\frac{1}{2n} + \frac{1}{3n^2} + O(1/n^3)}$。再将指数部分展开：$e^{-\frac{1}{2n} + \frac{1}{3n^2} + O(1/n^3)} = 1 + \left(-\frac{1}{2n} + \frac{1}{3n^2}\right) + \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2n}\right)^2 + O(1/n^3) = 1 - \frac{1}{2n} + \frac{1}{3n^2} + \frac{1}{8n^2} + O(1/n^3) = 1 - \frac{1}{2n} + \frac{11}{24n^2} + O(1/n^3)$。因此 $a_n = e\left(1 - \frac{1}{2n} + \frac{11}{24n^2} + O(1/n^3)\right) - e = -\frac{e}{2n} + O(1/n^2)$。
公式：$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + O(x^3)$
提示：注意合并同阶项，确保 $a_n$ 的主项为 $\frac{1}{n}$ 项。
步骤 4/4
目标：比较阶数
计算极限：$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n} = \lim_{n\to\infty} \frac{-\frac{e}{2n} + O(1/n^2)}{1/n} = -\frac{e}{2} \neq 0$。因此 $a_n$ 与 $\frac{1}{n}$ 同阶但非等价（因为极限非1）。
公式：$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n} = -\frac{e}{2}$
提示：等价无穷小要求极限为1，这里极限为 $ -\frac{e}{2}$，故为同阶非等价。
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