kaoyan1basic 高等数学 第131题
📝 题目
## 第131题 (高等数学 - 选择题) 若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos 2 x-\sqrt{\cos 2 x}}{x^{k}}=a \neq 0$ ，则 （A）$k=2, a=1$ ． （B）$k=-2, a=-1$ ． （C）$k=2, a=-2$ ． （D）$k=2, a=-1$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：$\cos 2x - \sqrt{\cos 2x} = \sqrt{\cos 2x}(\sqrt{\cos 2x} - 1)$。步骤2：当 $x\to0$，$\displaystyle \cos 2x = 1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 + O(x^6)$，$\displaystyle \sqrt{\cos 2x} = 1 - x^2 - \frac{1}{6}x^4 + O(x^6)$。步骤3：$\displaystyle \sqrt{\cos 2x} - 1 = -x^2 - \frac{1}{6}x^4 + O(x^6)$，乘以 $\sqrt{\cos 2x} \to 1$，得 $\cos 2x - \sqrt{\cos 2x} = -x^2 + O(x^4)$。步骤4：$\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{-x^2}{x^2} = -1$，故 $k=2$，$a=-1$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简分子表达式
将分子写成 $\cos 2x - \sqrt{\cos 2x} = \sqrt{\cos 2x}(\sqrt{\cos 2x} - 1)$。
公式：$\cos 2x - \sqrt{\cos 2x} = \sqrt{\cos 2x}(\sqrt{\cos 2x} - 1)$
提示：提取公因式 $\sqrt{\cos 2x}$ 以便后续展开。
步骤 2/5
目标：展开 $\cos 2x$ 和 $\sqrt{\cos 2x}$ 的泰勒级数
当 $x \to 0$ 时，$\cos 2x = 1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 + O(x^6)$，$\sqrt{\cos 2x} = 1 - x^2 - \frac{1}{6}x^4 + O(x^6)$。
公式：$\cos u = 1 - \frac{u^2}{2} + \frac{u^4}{24} + O(u^6)$，$\sqrt{1+u} = 1 + \frac{u}{2} - \frac{u^2}{8} + O(u^3)$
提示：注意 $\cos 2x$ 的展开中 $u=2x$，$\sqrt{\cos 2x}$ 可视为 $\sqrt{1+u}$ 形式，其中 $u = \cos 2x - 1$。
步骤 3/5
目标：计算 $\sqrt{\cos 2x} - 1$ 的展开式
由 $\sqrt{\cos 2x} = 1 - x^2 - \frac{1}{6}x^4 + O(x^6)$，得 $\sqrt{\cos 2x} - 1 = -x^2 - \frac{1}{6}x^4 + O(x^6)$。
公式：$\sqrt{\cos 2x} - 1 = -x^2 - \frac{1}{6}x^4 + O(x^6)$
提示：保留到 $x^4$ 项，因为分子中 $\sqrt{\cos 2x} \to 1$，乘积后 $x^2$ 项为主项。
步骤 4/5
目标：计算分子的主部
乘以 $\sqrt{\cos 2x} = 1 + O(x^2)$，得 $\cos 2x - \sqrt{\cos 2x} = (1 + O(x^2))(-x^2 - \frac{1}{6}x^4 + O(x^6)) = -x^2 + O(x^4)$。
公式：$\cos 2x - \sqrt{\cos 2x} = -x^2 + O(x^4)$
提示：只需保留最低阶项 $x^2$，高阶项不影响极限。
步骤 5/5
目标：求极限确定 $k$ 和 $a$
代入极限：$\lim_{x \to 0} \frac{-x^2 + O(x^4)}{x^k} = a \neq 0$。为使极限非零，需 $k=2$，此时 $a = -1$。
公式：$\lim_{x \to 0} \frac{-x^2}{x^2} = -1$
提示：比较分子分母的幂次，当 $k=2$ 时极限存在且非零。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。