kaoyan1basic 高等数学 第132题
📝 题目
## 第132题 (高等数学 - 选择题) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{(1-\cos x) \sin ^{2} x}=$$ （A） 1 ． （B）$\frac{1}{2}$ ． （C）$\frac{1}{3}$ ． （D） 0 ． $$ $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}}{\mathrm{e}^{x}}=$ $$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：分子 $\displaystyle \cos(\sin x) - \cos x = -2\sin\frac{\sin x + x}{2} \sin\frac{\sin x - x}{2}$。步骤2：$\displaystyle \sin x \sim x - \frac{x^3}{6}$，$\displaystyle \sin x - x \sim -\frac{x^3}{6}$，$\sin x + x \sim 2x$。步骤3：分子 $\displaystyle \sim -2 \cdot \sin x \cdot \left(-\frac{x^3}{12}\right) = \frac{x^4}{6}$。步骤4：分母 $\displaystyle (1-\cos x)\sin^2 x \sim \frac{x^2}{2} \cdot x^2 = \frac{x^4}{2}$。步骤5：极限 $\displaystyle \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{3}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简分子
利用和差化积公式：cos(α) - cos(β) = -2 sin((α+β)/2) sin((α-β)/2)，令 α = sin x，β = x，得 cos(sin x) - cos x = -2 sin((sin x + x)/2) sin((sin x - x)/2)。
公式：cos α - cos β = -2 sin((α+β)/2) sin((α-β)/2)
提示：注意符号和因子2。
步骤 2/5
目标：对分子中的 sin x 进行泰勒展开
当 x→0 时，sin x = x - x^3/6 + o(x^3)，因此 sin x - x ~ -x^3/6，sin x + x ~ 2x。代入分子表达式：分子 ~ -2 sin((2x)/2) sin((-x^3/6)/2) = -2 sin x sin(-x^3/12) = 2 sin x sin(x^3/12)。
公式：sin x = x - x^3/6 + o(x^3)
提示：注意 sin(-θ) = - sin θ，所以负号抵消。
步骤 3/5
目标：进一步简化分子
当 x→0 时，sin x ~ x，sin(x^3/12) ~ x^3/12，因此分子 ~ 2 * x * (x^3/12) = x^4/6。
公式：sin u ~ u (u→0)
提示：注意高阶无穷小可忽略。
步骤 4/5
目标：化简分母
当 x→0 时，1 - cos x ~ x^2/2，sin^2 x ~ x^2，因此分母 ~ (x^2/2) * x^2 = x^4/2。
公式：1 - cos x ~ x^2/2, sin x ~ x
提示：注意乘积的等价无穷小替换。
步骤 5/5
目标：计算极限
原极限 = lim_{x→0} (x^4/6) / (x^4/2) = (1/6) / (1/2) = 1/3。
提示：约去 x^4 后直接计算。
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