kaoyan1basic 高等数学 第134题
📝 题目
## 第134题 (高等数学 - 选择题) 已知 $\displaystyle I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x^{2}+b x+1-\mathrm{e}^{x^{2}-2 x}}{x^{2}}=2$ ，则 （A）$a=5, b=-2$ ． （B）$a=-2, b=5$ ． （C）$a=2, b=0$ ． （D）$a=3, b=-3$ ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：$\displaystyle I = \lim_{x\to0} \frac{ax^2+bx+1 - e^{x^2-2x}}{x^2} = 2$。步骤2：分子在 $x=0$ 时为 $1-1=0$，分母为0，需用洛必达或展开。步骤3：$\displaystyle e^{x^2-2x} = 1 - 2x + (2+\frac{1}{2})x^2 + O(x^3) = 1 - 2x + \frac{5}{2}x^2 + O(x^3)$。步骤4：分子 $\displaystyle = ax^2+bx+1 - (1-2x+\frac{5}{2}x^2) = (a-\frac{5}{2})x^2 + (b+2)x + O(x^3)$。步骤5：极限存在，需 $b+2=0$，即 $b=-2$，则 $\displaystyle I = a - \frac{5}{2} = 2$，得 $\displaystyle a = \frac{9}{2}$，但选项无，重新计算：$\displaystyle e^{x^2-2x} = 1 - 2x + \frac{4x^2}{2} + \cdots$ 错误，正确展开：$\displaystyle e^{x^2-2x} = 1 + (x^2-2x) + \frac{(x^2-2x)^2}{2} + \cdots = 1 - 2x + \frac{3}{2}x^2 + O(x^3)$，则 $\displaystyle a-\frac{3}{2}=2$，$\displaystyle a=\frac{7}{2}$，仍不符。检查选项，$a=5,b=-2$ 代入：$5x^2-2x+1 - e^{x^2-2x}$，展开 $e^{x^2-2x}=1-2x+3x^2+O(x^3)$，分子 $=2x^2$，极限为2，正确。 **难度**：★★★☆☆