kaoyan1basic 高等数学 第135题
📝 题目
## 第135题 (高等数学 - 选择题) 设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6 x-(\sin x) f(x)}{x^{3}}=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{6-f(x)}{x^{2}}=$ （A） 0 ． （B） 35 ． （C） 36 ． （D）$\infty$ ． 答题 区 （J）纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：$\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{\sin 6x - (\sin x)f(x)}{x^3} = 0$。步骤2：$\sin 6x = 6x - 36x^3 + O(x^5)$，$\displaystyle \sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$。步骤3：设 $f(x) = 6 + ax^2 + O(x^3)$，则 $\displaystyle \sin x f(x) = (x - \frac{x^3}{6})(6 + ax^2) = 6x + (a - 1)x^3 + O(x^5)$。步骤4：分子 $= 6x - 36x^3 - 6x - (a-1)x^3 = (-36 - a + 1)x^3 = (-35 - a)x^3$，极限为0得 $-35-a=0$，$a=-35$。步骤5：$\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{6-f(x)}{x^2} = \lim_{x\to0} \frac{-ax^2}{x^2} = -a = 35$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用已知极限条件，将分子展开为泰勒级数
由已知极限条件，将 sin6x 和 sinx 在 x=0 处展开：sin6x = 6x - 36x^3 + O(x^5)，sinx = x - x^3/6 + O(x^5)。设 f(x) = 6 + ax^2 + O(x^3)，代入分子计算。
公式：sin6x = 6x - 36x^3 + O(x^5), sinx = x - x^3/6 + O(x^5)
提示：注意展开到 x^3 项即可，因为分母是 x^3。
步骤 2/3
目标：计算分子并令极限为0，解出 a
计算 sinx f(x) = (x - x^3/6)(6 + ax^2) = 6x + (a - 1)x^3 + O(x^5)。分子 = sin6x - sinx f(x) = (6x - 36x^3) - [6x + (a-1)x^3] + O(x^5) = (-35 - a)x^3 + O(x^5)。由极限为0得 -35 - a = 0，所以 a = -35。
公式：分子 = (-35 - a)x^3 + O(x^5)
提示：注意 O(x^5) 项除以 x^3 后趋于0，不影响极限。
步骤 3/3
目标：计算所求极限
所求极限 lim_{x→0} (6 - f(x))/x^2 = lim_{x→0} (-ax^2 + O(x^3))/x^2 = -a = 35。
公式：6 - f(x) = -ax^2 + O(x^3)
提示：代入 a = -35 得结果 35。
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