kaoyan1basic 高等数学 第136题
📝 题目
## 第136题 (高等数学 - 选择题) 下列各题计算过程中正确无误的是 （A）数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(\ln n)^{\prime}}{n^{\prime}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0$ ． （B） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sin \pi x}{3 x^{2}-2 x-1}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\pi \cos \pi x}{6 x-2}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{-\pi^{2} \sin \pi x}{6}=0$ ． （C） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \sin \frac{1}{x}}{\sin x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}}{\cos x}$ 不存在． （D） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x+\sin x}{x-\sin x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+\cos x}{1-\cos x}=\infty$ ． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：选项A错误，数列极限不能用洛必达法则，应使用函数极限。步骤2：选项B错误，$\displaystyle \lim_{x\to1} \frac{\sin\pi x}{3x^2-2x-1}$ 为 $\displaystyle \frac{0}{0}$，第一次洛必达得 $\displaystyle \frac{\pi\cos\pi x}{6x-2}$，代入 $x=1$ 得 $\displaystyle \frac{-\pi}{4}$，非0。步骤3：选项C错误，$\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{\sin x}$ 极限为0，不能用洛必达。步骤4：选项D正确，$\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{x+\sin x}{x-\sin x}$ 为 $\displaystyle \frac{0}{0}$，洛必达得 $\displaystyle \frac{1+\cos x}{1-\cos x}$，当 $x\to0$ 时分子 $\to2$，分母 $\to0$，极限为 $\infty$。 **难度**：★★☆☆☆