kaoyan1basic 高等数学 第137题
📝 题目
## 第137题 (高等数学 - 选择题) $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^{2}+n+1}+\frac{2}{n^{2}+n+2}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n+n}\right)=$$ （A） 3 ． （B） 2 ． （C）$\frac{2}{3}$ ． （D）$\frac{1}{2}$ ． 答题 区$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：$\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+n+k}$。步骤2：放缩，$\displaystyle \frac{k}{n^2+n+n} \le \frac{k}{n^2+n+k} \le \frac{k}{n^2+n+1}$。步骤3：左边和 $\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+2n} = \frac{n(n+1)/2}{n^2+2n} = \frac{n+1}{2(n+2)} \to \frac{1}{2}$。步骤4：右边和 $\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+n+1} = \frac{n(n+1)/2}{n^2+n+1} = \frac{n+1}{2n+2+2/n} \to \frac{1}{2}$。步骤5：夹逼得极限为 $\displaystyle \frac{1}{2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出和式表达式
将所求极限表示为和式：S_n = ∑_{k=1}^n k/(n^2+n+k)。
公式：S_n = ∑_{k=1}^n k/(n^2+n+k)
提示：注意通项中分母随k变化，不能直接求和。
步骤 2/5
目标：放缩通项
由于分母中k的范围是1到n，有n^2+n+1 ≤ n^2+n+k ≤ n^2+n+n，因此得到放缩：k/(n^2+2n) ≤ k/(n^2+n+k) ≤ k/(n^2+n+1)。
公式：k/(n^2+2n) ≤ k/(n^2+n+k) ≤ k/(n^2+n+1)
提示：放缩方向要一致，确保夹逼定理可用。
步骤 3/5
目标：计算左边和式的极限
左边和：∑_{k=1}^n k/(n^2+2n) = (1/(n^2+2n)) * n(n+1)/2 = n(n+1)/(2(n^2+2n)) = (n+1)/(2(n+2))，当n→∞时极限为1/2。
公式：∑_{k=1}^n k/(n^2+2n) = (n+1)/(2(n+2)) → 1/2
提示：分子求和用等差数列公式。
步骤 4/5
目标：计算右边和式的极限
右边和：∑_{k=1}^n k/(n^2+n+1) = (1/(n^2+n+1)) * n(n+1)/2 = n(n+1)/(2(n^2+n+1)) = (n+1)/(2n+2+2/n)，当n→∞时极限为1/2。
公式：∑_{k=1}^n k/(n^2+n+1) = (n+1)/(2n+2+2/n) → 1/2
提示：分子分母同除以n处理极限。
步骤 5/5
目标：应用夹逼定理得极限
由夹逼定理，左右两边极限均为1/2，故原极限为1/2。
公式：lim_{n→∞} S_n = 1/2
提示：夹逼定理要求两边极限相等。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。