kaoyan1basic 高等数学 第138题
📝 题目
## 第138题 (高等数学 - 选择题) 当 $x \rightarrow 0$ 时下列无穷小中阶数最高的是 （A）$(1+x)^{x^{2}}-1$ ． （B） $\mathrm{e}^{x^{4}-2 x}-1$ ． （C） $\int_{0}^{x^{2}} \sin t^{2} \mathrm{~d} t$ ． （D）$\sqrt{1+2 x}-\sqrt[3]{1+3 x}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：分别确定各选项的阶数。 (A) $(1+x)^{x^2}-1 = e^{x^2\ln(1+x)}-1 \sim x^3$（三阶）。 (B) $e^{x^4-2x}-1 \sim -2x$（一阶）。 (C) $\displaystyle \int_0^{x^2}\sin t^2 dt \sim \int_0^{x^2} t^2 dt = \frac{x^6}{3}$（六阶）。 (D) $\displaystyle \sqrt{1+2x}-\sqrt[3]{1+3x} = (1+x-\frac12 x^2+\cdots)-(1+x-\frac32 x^2+\cdots) \sim x^2$（二阶）。 步骤2：比较阶数，最高阶为六阶，对应(D)。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定选项(A)的阶数
将$(1+x)^{x^2}-1$化为$e^{x^2\ln(1+x)}-1$，利用等价无穷小$e^u-1\sim u$，得$\sim x^2\ln(1+x)\sim x^3$，故为三阶。
公式：$e^u-1\sim u$，$\ln(1+x)\sim x$
提示：注意指数型函数的处理，先取指数再等价。
步骤 2/5
目标：确定选项(B)的阶数
利用等价无穷小$e^u-1\sim u$，得$e^{x^4-2x}-1\sim x^4-2x\sim -2x$，故为一阶。
公式：$e^u-1\sim u$
提示：注意$x^4$是比$x$高阶的无穷小，故主要项是$-2x$。
步骤 3/5
目标：确定选项(C)的阶数
当$x\to0$时，$\sin t^2\sim t^2$，故$\int_0^{x^2}\sin t^2 dt\sim\int_0^{x^2}t^2 dt=\frac{x^6}{3}$，为六阶。
公式：$\sin u\sim u$，$\int_0^{x^2}t^2 dt=\frac{x^6}{3}$
提示：被积函数等价后积分，注意积分上限是$x^2$。
步骤 4/5
目标：确定选项(D)的阶数
将$\sqrt{1+2x}$和$\sqrt[3]{1+3x}$展开：$\sqrt{1+2x}=1+x-\frac12 x^2+\cdots$，$\sqrt[3]{1+3x}=1+x-\frac32 x^2+\cdots$，相减得$\sim x^2$，为二阶。
公式：$(1+u)^\alpha=1+\alpha u+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}u^2+\cdots$
提示：利用泰勒展开到二阶，注意消去一阶项。
步骤 5/5
目标：比较阶数，选出最高阶
选项(A)三阶，(B)一阶，(C)六阶，(D)二阶，故最高阶为六阶，对应选项(C)。
提示：注意题目要求阶数最高，不要误选。
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