kaoyan1basic 高等数学 第139题
📝 题目
## 第139题 (高等数学 - 选择题) 设 $x \rightarrow a$ 时 $f(x)$ 与 $g(x)$ 分别是 $x-a$ 的 $n$ 阶与 $m$ 阶无穷小，则下列命题 （1）$f(x) g(x)$ 是 $x-a$ 的 $n+m$ 阶无穷小。 （2）若 $n>m$ ，则 $\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $x-a$ 的 $n-m$ 阶无穷小． （3）若 $n \leqslant m$ ，则 $f(x)+g(x)$ 是 $x-a$ 的 $n$ 阶无穷小． （4）若 $f(x)$ 连续，则 $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是 $x-a$ 的 $n+1$ 阶无穷小． 中，正确的个数是 （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：命题(1)正确，由无穷小阶的定义直接得到。 步骤2：命题(2)正确，当$n>m$时，$\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}$是$n-m$阶无穷小。 步骤3：命题(3)错误，若$n=m$，则$f(x)+g(x)$的阶数可能高于$n$（如$f(x)=x, g(x)=-x$时，和为0，阶数无穷大）。 步骤4：命题(4)正确，由积分性质，$\int_a^x f(t)dt$是$n+1$阶无穷小。 步骤5：正确个数为3。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：判断命题(1)的正确性
由无穷小阶的定义，若f(x)是x-a的n阶无穷小，g(x)是x-a的m阶无穷小，则f(x)g(x)是x-a的n+m阶无穷小，命题(1)正确。
公式：f(x) ~ A(x-a)^n, g(x) ~ B(x-a)^m ⇒ f(x)g(x) ~ AB(x-a)^{n+m}
提示：无穷小乘积的阶数等于阶数之和。
步骤 2/5
目标：判断命题(2)的正确性
当n>m时，f(x)/g(x) ~ (A/B)(x-a)^{n-m}，因此是x-a的n-m阶无穷小，命题(2)正确。
公式：f(x)/g(x) ~ (A/B)(x-a)^{n-m}
提示：注意n>m的条件，否则可能不是无穷小。
步骤 3/5
目标：判断命题(3)的正确性
若n
公式：f(x)+g(x) ~ A(x-a)^n + B(x-a)^m
提示：当n=m时，需考虑系数和是否为零。
步骤 4/5
目标：判断命题(4)的正确性
由积分性质，若f(x)连续且为n阶无穷小，则∫_a^x f(t)dt是x-a的n+1阶无穷小，命题(4)正确。
公式：∫_a^x f(t)dt ~ (A/(n+1))(x-a)^{n+1}
提示：积分提高一阶无穷小。
步骤 5/5
目标：统计正确命题个数
命题(1)、(2)、(4)正确，共3个。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。