kaoyan1basic 高等数学 第140题
📝 题目
## 第140题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)=\int_{0}^{x} t \mathrm{e}^{\sin t} \mathrm{~d} t$ ，则当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 为无穷小 $x$ 的阶为 （A）一阶。 （B）二阶。 （C）三阶。 （D）四阶．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：$f(x)=\int_0^x t e^{\sin t} dt$，当$x\to0$时，被积函数$t e^{\sin t} \sim t$。 步骤2：$\displaystyle f(x) \sim \int_0^x t dt = \frac{x^2}{2}$，故$f(x)$是$x$的二阶无穷小。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定被积函数的等价无穷小
当 x→0 时，t→0，因此 e^{sin t} → e^0 = 1，所以被积函数 t e^{sin t} ~ t。
公式：t e^{\sin t} \sim t \quad (t \to 0)
提示：注意等价无穷小替换的条件：乘除因子可以直接替换。
步骤 2/3
目标：利用等价无穷小简化积分
将 f(x) 中的被积函数替换为 t，得到 f(x) ~ ∫_0^x t dt = x^2/2。
公式：f(x) \sim \int_0^x t \, dt = \frac{x^2}{2}
提示：积分运算中，被积函数等价替换后，积分结果仍保持等价关系。
步骤 3/3
目标：判断无穷小的阶数
由 f(x) ~ x^2/2 可知，f(x) 是 x 的二阶无穷小。
提示：若 f(x) ~ C x^k (C≠0)，则 f(x) 是 x 的 k 阶无穷小。
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