kaoyan1basic 高等数学 第141题
📝 题目
## 第141题 (高等数学 - 选择题) 以下函数 $f(g(x))$ 以 $x=0$ 为第二类间断点的是 （A）$f(u)=\ln \left(1+u^{2}\right), g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin ^{2} x+(x+1)^{2}, & x \leqslant 0 \\ x^{2}+1, & x>0\end{array}\right.$ ． （B）$f(u)=\left\{\begin{array}{ll}1-u, & u \leqslant 0 \\ u^{2}+1, & u>0\end{array}, g(x)=2 \cos x-1\right.$ ． （C）$\displaystyle f(u)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\ln \left(1-u^{2}\right)}{u} \sin \frac{1}{u}, & u<0 \\ 1-\cos \sqrt{u}, & u \geqslant 0\end{array}, g(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & x<0 \\ x+\frac{\pi^{2}}{4}, & x \geqslant 0\end{array}\right.\right.$ ． （D）$\displaystyle f(u)=\mathrm{e}^{u^{2}}+1, g(x)= \begin{cases}\frac{1}{x}, & x<0 \\ 0, & x=0 \\ \sin \frac{1}{x}, & x>0\end{cases}$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：分析各选项复合函数$f(g(x))$在$x=0$处的间断点类型。 (A) $g(x)$在$x=0$连续，$f(u)$连续，故复合函数连续。 (B) $g(x)=2\cos x-1$连续，$f(u)$在$u=1$处连续（$f(1)=2$），故复合函数连续。 (C) $g(x)$在$x=0$处左极限$0$，右极限$\displaystyle \frac{\pi^2}{4}>0$，$f(u)$在$u=0$处左极限$-\infty$（因$\displaystyle \frac{\ln(1-u^2)}{u}\sim -u$，$\displaystyle \sin\frac1u$振荡），右极限$1-\cos\sqrt{u}\to0$，故$x=0$为第二类间断点。 (D) $g(x)$在$x=0$处左极限$-\infty$，右极限振荡，$f(u)=e^{u^2}+1$连续，但$g(x)$在$x=0$处极限不存在且无界，复合函数在$x=0$处极限不存在，但需判断类型：左极限$f(-\infty)=+\infty$，右极限振荡，故为第二类间断点。但比较(C)更明确为第二类。 步骤2：正确选项为(C)。 **难度**：★★★★☆