kaoyan1basic 高等数学 第143题
📝 题目
## 第143题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某邻域内有定义，且 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 间断，则在点 $x_{0}$ 处必定间断的函数是 （A）$f(x) \sin x$ ． （B）$f(x)+\sin x$ ． （C）$f^{2}(x)$ ． （D）$|f(x)|$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：若$f(x)$在$x_0$间断，则$f(x)+\sin x$在$x_0$处必间断，因为$\sin x$连续，间断函数加连续函数仍间断。 步骤2：其他选项可能连续，例如$f(x)$为有界振荡间断时，$f(x)\sin x$可能连续；$f^2(x)$和$|f(x)|$可能连续（如$f(x)$取绝对值后连续）。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：判断选项B的正确性
由于sin x在x0处连续，而f(x)在x0处间断，根据连续函数的性质：间断函数与连续函数的和仍为间断函数，因此f(x)+sin x在x0处必间断。
提示：间断函数加连续函数一定间断。
步骤 2/2
目标：分析其他选项可能连续的反例
对于选项A，若f(x)为有界振荡间断（如x→0时sin(1/x)），乘以sin x后可能连续（如f(x)=sin(1/x)在x=0处间断，但x sin(1/x)在x=0处连续）。对于选项C和D，若f(x)在x0处取值为±1的跳跃间断，则f^2(x)和|f(x)|可能连续。
提示：考虑特殊反例排除选项。
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