kaoyan1basic 高等数学 第146题
📝 题目
## 第146题 (高等数学 - 选择题) 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos x^{2}}{x^{3}}, & x>0 \\ g(x) \arcsin ^{2} x, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ ，其中 $g(x)$ 是有界函数，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处 （A）极限不存在． （B）极限存在，但不连续． （C）连续，但不可导． （D）可导．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：$x\to0^+$时，$\displaystyle f(x)=\frac{1-\cos x^2}{x^3} \sim \frac{x^4/2}{x^3}=\frac{x}{2}\to0$。 步骤2：$x\to0^-$时，$f(x)=g(x)\arcsin^2 x \sim g(x)x^2$，由于$g(x)$有界，故$f(x)\to0$。因此$f(0)$需定义，但题目未给$f(0)$，但极限为0，可补充定义$f(0)=0$使连续。 步骤3：导数：右导数$\displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-0}{x}=\lim_{x\to0^+}\frac{1-\cos x^2}{x^4}=\frac12$；左导数$\displaystyle \lim_{x\to0^-}\frac{g(x)\arcsin^2 x}{x}=\lim_{x\to0^-}g(x)\frac{x^2}{x}=0$（因$g(x)$有界，$\arcsin x\sim x$），左右导数不相等？注意：左导数应为$\displaystyle \lim_{x\to0^-}\frac{g(x)\arcsin^2 x}{x} = \lim_{x\to0^-}g(x)\cdot\frac{x^2}{x}=0$，右导数为$\displaystyle \frac12$，故不可导？但需检查：右导数计算正确，左导数极限为0，故导数不存在。但选项D为可导，需重新计算： 步骤4：实际上，左导数：$\displaystyle \lim_{x\to0^-}\frac{g(x)\arcsin^2 x}{x} = \lim_{x\to0^-}g(x)\cdot\frac{\arcsin^2 x}{x}$，由于$\arcsin x \sim x$，故$\displaystyle \frac{\arcsin^2 x}{x}\sim x\to0$，且$g(x)$有界，极限为0。右导数：$\displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{1-\cos x^2}{x^4}=\frac12$，左右导数不相等，故不可导。但选项D为可导，矛盾。 步骤5：重新审视：$f(x)$在$x=0$处未定义，但极限存在为0，可补充定义$f(0)=0$。此时左导数为0，右导数为$\displaystyle \frac12$，不可导。但选项D为可导，可能题目中$f(0)$已定义？题目未给出$f(0)$，但通常选择题中，若极限存在，可补充定义使连续，但导数不一定存在。检查选项：A极限不存在，B极限存在不连续，C连续不可导，D可导。由计算，极限存在，可补充定义使连续，但不可导，故应选C。 **难度**：★★★☆☆