kaoyan1basic 高等数学 第145题
📝 题目
## 第145题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 连续，则＂存在 $x_{n} \in[a,+\infty)$ ，有 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty$ 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)= \infty$＂是 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 无界的 （A）充分非必要条件． （B）必要非充分条件． （C）充要条件． （D）既非充分又非必要条件．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：存在子列趋于无穷且函数值趋于无穷，则函数无界（充分性）。 步骤2：反之，函数无界不一定存在子列趋于无穷且函数值趋于无穷，例如$f(x)=x\sin x$在$[0,+\infty)$无界，但不存在子列趋于无穷时函数值趋于无穷（振荡）。故非必要。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：判断充分性
假设存在数列{x_n}⊂[a,+∞)满足x_n→+∞且f(x_n)→∞。则对任意M>0，存在N使得当n>N时|f(x_n)|>M，因此f(x)在[a,+∞)上无界。所以条件是充分的。
提示：注意无界定义：对任意M>0，存在x∈[a,+∞)使得|f(x)|>M。
步骤 2/2
目标：判断必要性
考虑反例：f(x)=x sin x在[0,+∞)上连续且无界，但不存在子列x_n→+∞使得f(x_n)→∞，因为f(x)振荡。因此条件不是必要的。
提示：无界函数不一定有趋于无穷的子列，可能只是振荡。
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