kaoyan1basic 高等数学 第148题
📝 题目
## 第148题 (高等数学 - 选择题) 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{g(x)-\mathrm{e}^{-x}}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ ，其中 $g(x)$ 二阶连续可导，且 $g(0)=1, g^{\prime}(0)=-1$ ，则 （A）$\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{g^{\prime \prime}(0)-1}{2}$ ，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续． （B）$\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{g^{\prime \prime}(0)+1}{2}$ ，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续． （C）$\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{g^{\prime \prime}(0)-1}{2}$ ，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上不连续． （D）$\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{g^{\prime \prime}(0)+1}{2}$ ，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上不连续．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：$f(0)=0$，$\displaystyle f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-0}{x}=\lim_{x\to0}\frac{g(x)-e^{-x}}{x^2}$。 步骤2：由$g(0)=1, g'(0)=-1$，$\displaystyle e^{-x}=1-x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$，$\displaystyle g(x)=1-x+\frac{g''(0)}{2}x^2+o(x^2)$，故$\displaystyle g(x)-e^{-x}=\frac{g''(0)-1}{2}x^2+o(x^2)$，除以$x^2$得$\displaystyle \frac{g''(0)-1}{2}$。 步骤3：$f'(x)$在$x\neq0$时连续，且$f'(0)$存在，由$g(x)$二阶连续可导，$f'(x)$在$x=0$处连续。 **难度**：★★★☆☆