kaoyan1basic 高等数学 第149题
📝 题目
## 第149题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(0)=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(x^{2}\right)}{x^{2}}$ 存在是 $f(x)$ 在 $x=0$ 可导的 （A）充分非必要条件． （B）必要非充分条件． （C）充分必要条件． （D）既非充分又非必要条件．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：若$f(x)$在$x=0$可导，则$\displaystyle f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}$存在，从而$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x^2)}{x^2}=f'(0)$存在，故必要。 步骤2：反之不成立，例如$f(x)=|x|$，则$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x^2)}{x^2}=1$存在，但$f(x)$在$x=0$不可导。故非充分。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：判断必要性
若f(x)在x=0可导，则f'(0)=lim_{x→0} f(x)/x存在，从而lim_{x→0} f(x^2)/x^2 = f'(0)存在，故必要性成立。
公式：f'(0)=lim_{x→0} f(x)/x
提示：注意x^2→0时，令t=x^2，则极限转化为f(t)/t的极限。
步骤 2/2
目标：判断充分性
反之不成立。例如f(x)=|x|，则lim_{x→0} f(x^2)/x^2 = lim_{x→0} |x^2|/x^2 = 1存在，但f(x)=|x|在x=0不可导。故非充分。
公式：lim_{x→0} |x^2|/x^2 = 1
提示：反例常考虑绝对值函数或分段函数。
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